用柯西不等式啊,我高中生都会……
先证n/(1/x1+1/x2+……1/xn)≤(x1+x2+……xn)/n
通分后原不等式就等价于n^2≤(x1+x2……+xn)(1/x1+1/x2+……+1/xn)
显然由柯西不等式得
(x1+x2……+xn)(1/x1+1/x2+……+1/xn)≥(x1*1/x1+x2*1/x2+……+xn*1/xn)^2=n^2
现在再证明算术平均≤几何平均
这里用数学归纳法
1.对n=2,显然有(x1+x2)/2≤(x1x2)^1/2
2.假设对n=k(k≥2,k∈N)结论成立
即(x1+x2+……xk)/k≤(x1x2……xn)^1/k
对n=k+1
x1+x2+……xk+(xk+1)+(k-1)(x1x2……xk+1)^1/k+1≤k*(x1x2……xn)^1/k
+k*[(xk+1)^2k/k+1(x1x2……xk)^k-1/k+1]^1/k≤k*2*[(x1x2……xn)^2/k+1]^1/2=2k*(x1x2……xn)^1/k+1
两边消去(k-1)(x1x2……xk+1)^1/k+1即可得结论对n=k+1成立
综合1 2 可得结论对n≥2成立,又n等于1是结论显然成立,故对一切正整数n结论都成立
得调和平均小于等于算术平均小于等于几何平均
这题的关键在于两边同加(k-1)(x1x2……xk+1)^1/k+1
来利用假设,还有要从n=2开始,用一次基本不等式
等号的取得啥的我就没细说了
追问兄弟你错的不是一簇啊1,先证n/(1/x1+1/x2+……1/xn)≤(x1+x2+……xn)/n是错的,2,(x1+x2+……xn)/n(算术平均数)大于等于几何平均X1X2X3..Xn的n次方根