已知X1+x2+X2+...+Xn=1, 证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2

如题所述

是否应加个条件：X1、X2、X3、...、Xn是正数。
证法一：均值不等式。
X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加，得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn，即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2，得证。
证法二：柯西不等式。
(a1^2+a2^2+......+an^2)×(b1^2+b2^2+......+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+......+an×bn)^2
只要取a1=X1/根号（X1+X2），a2=X2/根号(X2+X3)，……，an=Xn/根号(Xn+X1)，b1=根号（X1+X2），b2=根号(X2+X3)，……，bn=根号(Xn+X1)，再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证。

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