已知X1+x2+X2+...+Xn=1, 证明不等式：X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2
X1、X2、X3、...、Xn是正数
证法一：均值不等式。
X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加，得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn，即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2，得证。
证法二：柯西不等式。
(a1^2+a2^2+......+an^2)×(b1^2+b2^2+......+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+......+an×bn)^2
只要取a1=X1/根号（X1+X2），a2=X2/根号(X2+X3)，……，an=Xn/根号(Xn+X1)，b1=根号（X1+X2），b2=根号(X2+X3)，……，bn=根号(Xn+X1)，再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证。
记 A = X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)
B = X2^2/（X1+X2）+X3^2/(X2+X3)+X4^2/(X3+X4)+.....+X1^2/(Xn+X1)
则有
A+B = （X1^2+X2^2)/（X1+X2）+(X2^2+X3^2)/(X2+X3)+(X3^2+X4^2)/(X3+X4)+.....+(Xn^2+X1^2)/(Xn+X1)
A-B = ... = (X1+X2)(X1-X2)/(X1+X2)+ (X2+X3)(X2-X3)/(X2+X3)+...(Xn+X1)(Xn-X1)/(Xn+X1) = .. = 0
注意到 X1^2+X2^2 ≥ (X1+X2)^2/2 (这个容易验证，两边想减就OK)
....
从而可得 A+B ≥ (X1+X2)/2 + (X2+X3)/2+...+(Xn+X1)/2 = 1
所以A = （A+B)/2 ≥ 1/2
得X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）/4≥2根号[X1^2/（X1+X2）×（X1+X2）/4]=X1
X2^2/（X2+X3）+（X2+X3）/4≥2根号[X2^2/（X2+X3）×（X2+X3）/4]=X2
……
Xn^2/（Xn+X1）+（Xn+X1）/4≥2根号[Xn^2/（Xn+X1）×（Xn+X1）/4]=Xn
将上述n个不等式分别两边相加，得
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+X2+X3+...+Xn）/2≥X1+X2+X3+...+Xn，即
X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)≥（X1+X2+X3+...+Xn）/2=1/2，得证。
2。有a^2+b^2>=2根号ab且X1、X2、X3、...、Xn是正数
只要取a1=X1/根号（X1+X2），a2=X2/根号(X2+X3)，……，an=Xn/根号(Xn+X1)，b1=根号（X1+X2），b2=根号(X2+X3)，……，bn=根号(Xn+X1)，由a1^2+b1^2>=2根号ab代入得X1^2/（X1+X2）+（X1+X2）》=2x1同理可得....Xn^2/(Xn+X1)+（Xn+X1)>=2xn将n个不等式分别两边相加，得X1^2/（X1+X2）+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.....+Xn^2/(Xn+X1)+（X1+x2+X2+...+Xn）>=2（X1+x2+X2+...+Xn）
由X1+x2+X2+...+Xn=1
得 证
已知X1+x2+X2+...+Xn=1, 证明不等式:X1^2\/(X1+X2)+X2^2\/(X2+X3)+X3...
X2^2\/（X2+X3）+（X2+X3）\/4≥2根号[X2^2\/（X2+X3）×（X2+X3）\/4]=X2 ……Xn^2\/（Xn+X1）+（Xn+X1）\/4≥2根号[Xn^2\/（Xn+X1）×（Xn+X1）\/4]=Xn 将上述n个不等式分别两边相加，得 X1^2\/（X1+X2）+X2^2\/(X2+X3)+X3^2\/(X3+X4)+...+Xn^2\/(Xn+X1)+（...
设x1,x2,...,xn属于正实数且x1+x2+...+xn=1,求证:x1^2\/1+x1+x2^2\/...
≥2(x1+x2+……+xn)\/(n+1)因为x1+x2+...+xn=1，则不等式整理，可得 x1^2\/(1+x1)+x2^2\/(1+x2)+……+xn^2\/(1+xn)+1\/(n+1)≥2\/(n+1),即 x1^2\/(1+x1)+x2^2\/(1+x2)+……+xn^2\/(1+xn)≥1\/(n+1)...
...x1+x2+...xn)^2\/2(x1^2+x2^2+.xn^2)≤x1\/(x2+x3)+x2\/(x3+x4)+.?
证明： 由排序不等式, x1^2+x2^2+...+xn^2>=x1x2+x2x3+...xn-1xn+xnx1 x1^2+x2^2+...+xn^2>=x1x3+x2x4+...xn-1x1+xnx2 两式相加得 2(x1^2+x2^2+...+xn^2)>=x1(x2+x3)+x2(x3+x4)+...+xn-1(xn+x1)+xn(x1+x2) 又因为由柯西不等式 [x1\/(x2+x3...
通过展开证明(x1+x2+x3+...+xn)(1\/x1+1\/x2+1\/x3+...1\/xn)大于等于n^2...
回答：展开一共n^2项,除了x_i*1\/x_i=1的n项以外,还有(n^2-n)项,它们可以配对成 x_i\/x_j + x_j\/x_i. 每一对都是一个正实数与其倒数的和,这种和最小是2,所以这一共(n^2-n)\/2对的每一对都至少是2。其和就至少是n^2-n。加上那n个1,就一共是n^2。 其实这个结论用Cauchy...
设x1,x2,...,xn属于正实数且x1+x2+...+xn=1,求证:x1^2\/1+x1+x2^2\/...
两边同乘 [(1+x1)+(1+x2)+...(1+xn)]即(n+1)即证：[(1+x1)+(1+x2)+...(1+xn)]*[x1^2\/1+x1+x2^2\/1+x2+...+xn^2\/1+xn]=>1 显然 由柯西不等式知 [(1+x1)+(1+x2)+...(1+xn)]*[x1^2\/1+x1+x2^2\/1+x2+...+xn^2\/1+xn]>=(x1+x2+...xn)^...
用琴森不等式证明((x1+x2+...+xn)\/n)^(x1+x2+...+xn)<=x1^x1x2
两边取自然对数，并同除以n，只要证明 (x1+x2+...+xn)\/n * log [(x1+..+xn)\/n] <= 1\/n * [x1 log x1 + ... + xn log xn)上面已经有了Jenson不等式的样子，剩下的只要验证 f(t) = t log t 是下凸的。直接求导。f'(t) = t* 1\/t + log t = 1 + log t f''(...
已知X1+X2+X3+X4+……+Xn,求证X1方加X2方加X3方一直加到Xn方≥n分之...
根据柯西不等式 (x1^2+x2^3+x3^2+……+xn^2)(1^2+1^2+……+1^2)≥(x1*1+x2*1+xn*1)^2 右边因为X1+X2+X3+X4+……+Xn=1 所以(x1^2+x2^3+x3^2+……+xn^2)(1^2+1^2+……+1^2)≥1 1^2+1^2+……+1^2一共有n项 就是 n 除到右边去 得x1^2+x2^3+x3...
Xi>=0,X1+X2...+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3...
(若Xm+ Xm+1>2\/m，则 2=2(X1+X2+...+Xm+Xm+1)=(X1+X2)+(X2+X3)+...+(Xm+Xm+1)+(Xm+1+X1)≥(m+1)(Xm+Xm+1)>2，矛盾。)用刚开始得到的结论，显然有：(1-Xm)(Xm)^2+(1-Xm+1)(Xm+1)^2≤(1-Xm-Xm+1)(Xm+Xm+1)^2。设Y1=X1，Y2=X2，...，Ym-1=Xm...
(x1+x2+...+xn)^2<=n(x1^2+x2^2+...+xn^2); 这个不等式是否成立?如何...
这个不等式恒成立 用柯西不等式便可证明出 (x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)*(1+1+1+...+1)>=(x1+x2+x3+...+xn)^2 仅当x1=x2=x3=...=xn，等号成立 所以这个不等式成立
已知X1+X2+X3+…+Xn,求证:X1方加X2方加X3方一直加到Xn的平方大于等于二...
我想 ★珊宝贝☆ 的意思应该是：X1+X2+X3+…+Xn=1.(x1^+...+xn^2)\/2≥ （X1+X2+X3+…+Xn）\/2 （X1+X2+X3+…+Xn）\/2 =1\/2*1\/2.所以x1^+...+xn^2≥1\/2.
