以对角化就说明都与对角阵相似,且特征值相同,说明和同一对角阵相似,由相似的传递性可知,A B相似。
在线性代数中,相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)AP=B,则称矩阵A与B相似,记为A~B。
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
注: 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
证明两个矩阵相似的充要条件:
1、两者的秩相等
2、两者的行列式值相等
3、两者的迹数相等
4、两者拥有同样的特征值,尽管相应的特征向量一般不同
5、两者拥有同样的特征多项式
6、两者拥有同样的初等因子
若A与对角矩阵相似,则称A为可对角化矩阵,若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。
参考资料来源:百度百科-相似矩阵