a2+b2=1,x2+y2=4,则ax+by的最大值(答案是2)

求除了三角函数外的其他方法

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相关建议 2008-02-04

因为(a^2+b^2)(x^2+y^2)=4=(ax)^2+(ay)^2+(bx)^2+(by)^2>=(ax)^2+2abxy+(by)^2=(ax+by)^2
所以ax+by<=2故其最大值是2
a^2表示a的二次方
或者用向量法:
设向量AB=（a，b）.CD=(x,y).
由题意知道｜AB｜=1 ,｜CD｜=√4=2

利用 AB·CD≤｜AB｜｜CD｜（数量积不大于模的积）
AB·CD=ax+by≤｜AB｜｜CD｜=2.当向量AB与CD方向相同，取到等号。

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其他看法

第1个回答 2020-01-27

因为(a^2+b^2)(x^2+y^2)=4=(ax)^2+(ay)^2+(bx)^2+(by)^2>=(ax)^2+2abxy+(by)^2=(ax+by)^2
所以ax+by<=2故其最大值是2
a^2表示a的二次方
或者用向量法:
设向量AB=（a，b）.CD=(x,y).
由题意知道
｜AB｜=1
,｜CD｜=√4=2
利用
AB·CD≤｜AB｜｜CD｜（数量积不大于模的积）
AB·CD=ax+by≤｜AB｜｜CD｜=2.当向量AB与CD方向相同，取到等号。

第2个回答 2020-05-24

因为(a^2+b^2)(x^2+y^2)=4=(ax)^2+(ay)^2+(bx)^2+(by)^2>=(ax)^2+2abxy+(by)^2=(ax+by)^2
所以ax+by<=2故其最大值是2
a^2表示a的二次方
或者用向量法:
设向量AB=（a，b）.CD=(x,y).
由题意知道
｜AB｜=1
,｜CD｜=√4=2
利用
AB·CD≤｜AB｜｜CD｜（数量积不大于模的积）
AB·CD=ax+by≤｜AB｜｜CD｜=2.当向量AB与CD方向相同，取到等号。

第3个回答 2008-02-04

除了三角函数以外还可以用柯西不等式解决。
柯西不等式：记两列数分别是ai, bi，则有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2。
利用此不等式可得：
(ax+by)^2<=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1*4=4
所以：ax+by的最大值是2

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/33990908.html

第4个回答 2008-02-04

因为：a^2+b^2≥2ab
则：(bx)^2+(ay)^2≥2abxy
所以：(ax+by)^2=(ax)^2+2abxy+(by)^2
≤(ax)^2+(bx)^2+(ay)^2+(by)^2
=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=4
所以有：-2≤ax+by≤2
则ax+by的最大值为2，实际上最小值也可求是-2

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...直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是( )A.4B.22C.2D._百 ...答：∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切，∴圆心O（0，0）到直线ax+by-1=0的距离d=|?1|a2+b2=1，即a2+b2=1，设a+b=m，则圆心O到直线a+b-m=0等于半径1时，即d′=|?m|2=1，解得m=±2，∴m的最大值为2，故选：D．

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