设A是三阶矩阵,A(A^2-I)=A,求(A-I)^-1

因为 A(A^2-I)=A
所以 A^3-2A=0
所以 A^2(A-I)+A(A-I)-(A-I) - I = 0
所以 (A^2+A-I)(A-I) = I
所以 (A-I)^-1 = A^2+A-I.

注意: A不一定可逆.

解：
A(A²-I)=A
A³-A=A
A³-2A+I=I
设A³-2A+I=(A-I)(A²+aA+bI)
得A³-2A+I=A³+(a-1)A²+(b-a)A-bI
对比系数得： a-1=0
b-a=-2
-b=1
解得a=1，b=-1
故A³-2A+I=(A-I)(A²+A-I)=I
所以(A-I)^-1=A²+A-I本回答被提问者采纳