1、矩阵等价
矩阵A与B等价必须具备的两个条件:
(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵);
(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使B= PAQ。
2、矩阵A与B合同
必须同时具备的两个条件:
(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵;
(2) 存在n阶矩阵P: P^TAP= B。
3、矩阵A与B相似
必须同时具备两个条件:
(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵,而且是方阵;
(2)存在n阶可逆矩阵P,使得P^-1AP= B。
扩展资料
矩阵的相似,实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换,只是在不同基底下的坐标表示。相似矩阵的特征值相同,秩也相同,方阵对应的行列式也相同。
判断两个矩阵是否相似,一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似,其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。
矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的,理解合同就针对二次型里的对称阵,给一个二次型,我们可以写成矩阵表达形式,做一系列的可逆变换,新得到的表示二次型的矩阵,就是与原矩阵合同的新矩阵。
对于对称阵,两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同,也就是正特征值的个数,负特征值的个数相同。
矩阵相似与否和合同与否没有直接关系,但在我们的考试当中,一般考察对称阵,在对称阵的前提下,矩阵相似一定合同,合同不一定相似。相似要求特征值一样,合同只要求特征值的正负性一样。
参考资料来源:百度百科-合同矩阵
参考资料来源:百度百科-相似矩阵
参考资料来源:百度百科-等价矩阵
1、合同即特征值正负0个数分别相同;
2、相似,特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量;
3、等价,秩相等;
合同和相似是特殊的等价关系。
等价一般是指可以通过初等变换变成另一个,本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件,应用不大。
A相似于B,是存在非异矩阵P,使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系,高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。
合同和上面看起太有点像,是存在非异矩阵P,使得PAP‘=B,注意,这里P’是P的转置,而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征,负特征数目一样。
如果矩阵是正规矩阵,那么相似可以推出合同。
ps,研究合同时往往要求矩阵是对称阵。对称阵都是正规阵。
扩展资料:
合同关系是一个等价关系,也就是说满足:
1、反身性:任意矩阵都与其自身合同;
2、对称性:A合同于B,则可以推出B合同于A;
3、传递性:A合同于B,B合同于C,则可以推出A合同于C;
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法:
设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数(即正、负特征值的个数相等)。
设A,B是数域P上两个n*n矩阵:
(1) A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 与 等价。
(2) A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。
(3) 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。
参考资料来源:百度百科——合同矩阵
参考资料来源:百度百科——矩阵相似
参考资料来源:百度百科——等价矩阵
本回答被网友采纳判断矩阵合同
(1)因为合同必等价,所以,若两个矩阵的秩不相同,则它们不是合同的。
若存在可逆矩阵C, 使得 C'AC = B, 则A与B合同 , 这是从定义的角度考虑。
(2)若给两个显式矩阵,判断它们是否合同,只能把它们化成标准形, 比较它们的正负惯性指数。
正负惯性指数分别相等则合同,否则不合同。
判断矩阵相似
设A,B为n阶矩阵,如果有n阶可逆矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B。
判断矩阵等价
(1)按定义,如果存在可逆阵P、Q,使P*A*Q=B,则称A与B等价。
(2)相似的两个矩阵一定是等价的矩阵。等价矩阵未必相似。
扩展资料:
合同矩阵的性质
1、反身性:任意矩阵都与其自身合同
2、对称性:A合同于B,则可以推出B合同于A
3、传递性:A合同于B,B合同于C,则可以推出A合同于C
4、合同矩阵的秩相同
等价矩阵的性质
1、矩阵A和A等价(反身性)
2、矩阵A和B等价,那么B和A也等价(等价性)
3、矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性)
4、矩阵A和B等价,那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解
参考资料来源:百度百科-合同矩阵
参考资料来源:百度百科-相似矩阵
参考资料来源:百度百科-等价矩阵
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