如何判断矩阵合同、相似、等价？

1、合同即特征值正负0个数分别相同；

2、相似，特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量；

3、等价，秩相等；

合同和相似是特殊的等价关系。

等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。

A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。

合同和上面看起太有点像，是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P’是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。

如果矩阵是正规矩阵，那么相似可以推出合同。

ps，研究合同时往往要求矩阵是对称阵。对称阵都是正规阵。

扩展资料

合同矩阵的性质

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C

4、合同矩阵的秩相同

等价矩阵的性质

1、矩阵A和A等价(反身性）

2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）

3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）

4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

参考资料来源：百度百科-合同矩阵

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

参考资料来源：百度百科-等价矩阵