在三角形ABC中，角C=90°，角A=30°，BC=3，折叠三角形ABC使BC边与CA边重合，求折痕长，和折重叠部分的面积

如题所述

如图，设折痕与AB交于点D

折叠三角形ABC使BC边与CA边重合，则说明CD是角ACB的角平分线

则角BCD=75度、角B=60度、BC=3

根据正弦定理可知：

折痕CD=3*sin60度/sin75度

       =3*sin60度/sin30度cos45度+sin45度cos30度)

            =(3*根号3/2)/(1/2*根号2/2+根号2/2*根号3/2)

            =(3*根号3/2)/[(根号2+根号6)/4]

            =(9根号2-3根号6)/2

过点D作BC的垂线交BC于E，设DE=x

则BC=BE+CE=(根号3/3)x+x=3

解得：x=(9-3根号3)/2

折重叠部分的面积为：S=1/2*DE*BC=1/2*(9-3根号3)/2*3=(27-9根号3)/4