不等式求证有哪几种方法,举例说明

说明越详细越好
最好有些经典例子

证明不等式的基本方法是比较法、综合法、分析法，有时也采用反证法、数学归纳法。有时也要涉及一点放缩法，但不要追求那些特殊的放缩技巧。

（1）比较法

证明不等式的比较法，有求差比较法（比较与0大小的关系）和求商比较法（比较与1的大小关系）两种基本途径。其依据是：

1）由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 ，这就是求差比较法。

2)由于当 时， ，因此，证明 （ ）可转化为证明与之等价的 （ ），这种证明方法就是求商比较法。使用求商比较法要注意 的前提条件。若 ，则有： 。即：

（2）综合法

依据题设的条件与基本不等式，以及不等式的性质，运用不等式的变换，证明指定不等式是成立的，这种证明方法就是综合法。综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列的推出变换，证明指定不等式是成立的。

综合法的重点是正确运用有关不等式的平均值定理，即

，则 ；

，则 ；

，则 ；

以及它们的变形形式： ；

还有含绝对值符号的不等式的性质：

（3）分析法

从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法。分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充足条件，直至已成立的不等式。

采用综合法证明不等式时，常用“ ”的符合表示由因导果的推理方式；采用分析法证明不等式时，常用“ ”的符号表示执果索因的推理方式。

分析法和综合法不仅是不等式证明中常用的方法，也是十分重要的逻辑思维方法。它对于指导我们认识条件和结论之间的联系，设计适当的推演步骤、运算方案，使问题得到解决，起着很大的作用。

（4）反证法

先假定结论不成立，并由此出发，推出与题设条件或正确理论相矛盾的结果，从而说明命题正确，这种证明方法就是反证法。反证法的思路是“假设—矛盾—肯定”，采用反证法证明不等式时，从否定结论出发，推出矛盾的过程，每一步推理都必须是正确的。

（5）数学归纳法的证明方法

数学归纳法只适用于一类特殊不等式的证明。

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