在三角形ABC中,求证:cosA+cosB+cosC=<3/2
maxlove的方法正确，但中学同学接受不了。
下面给三个中学生可以理解的方法。
证明一 （逐步调整法）由和差化积公式得
cosA+cosB+cosC+cos(π/3)
=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2cos[(C+π/3)/2]cos[(C-π/3)/2]
<=2{cos[(A+B)/2]+cos[(C+π/3)/2]}
=4cos[(A+B+C+π/3)/4]cos[(A+B-C-π/3)/4]
<=4cos[(A+B+C+π/3)/4]
=4cos[(π+π/3)/4]
=4cos(π/3),
所以 cosA+cosB+cosC<=3cos(π/3)=3/2.
注：仿上可证：sinA+sinB+sinC<=3√3/2
证明二 (一元化方法)
cosA+cosB+cosC=cosA+2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
<=cosA+2cos[(B+C)/2]
=1-2[sin(A/2)]^2+2sin(A/2)
=-2[(sin(A/2)-1/2]^2+3/2
<=3/2
证明三 (配方法)
cosA+cosB+cosC=<3/2
<==>(1-cosA-cosB)^2+(sinA-sinB)^2>=0
注：一般地，在三角形ABC中，对于任意实数x,y,z,有如下著名的“三角形嵌入不等式”：
x^2+y^2+z^2>=2yzcosA+2zxcosB+2xycosC. (*)
证明：(*)<==>(z-ycosA-xcosB))^2+(ysinA-xcosB)^2>=0
特别地，在(*)式中，取x=y=z=1,即得
cosA+cosB+cosC=<3/2 (1)
在(*)式中，取A=B=C=π/3,即得
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx (2)
因此，不等式(*)是两个常用不等式(1),(2)的联合推广.
maxlove的方法正确，但中学同学接受不了。
下面给三个中学生可以理解的方法。
证明一 （逐步调整法）由和差化积公式得
cosA+cosB+cosC+cos(π/3)
=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+2cos[(C+π/3)/2]cos[(C-π/3)/2]
<=2{cos[(A+B)/2]+cos[(C+π/3)/2]}
=4cos[(A+B+C+π/3)/4]cos[(A+B-C-π/3)/4]
<=4cos[(A+B+C+π/3)/4]
=4cos[(π+π/3)/4]
=4cos(π/3),
所以 cosA+cosB+cosC<=3cos(π/3)=3/2.
注：仿上可证：sinA+sinB+sinC<=3√3/2
证明二 (一元化方法)
cosA+cosB+cosC=cosA+2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
<=cosA+2cos[(B+C)/2]
=1-2[sin(A/2)]^2+2sin(A/2)
=-2[(sin(A/2)-1/2]^2+3/2
<=3/2
证明三 (配方法)
cosA+cosB+cosC=<3/2
<==>(1-cosA-cosB)^2+(sinA-sinB)^2>=0
注：一般地，在三角形ABC中，对于任意实数x,y,z,有如下著名的“三角形嵌入不等式”：
x^2+y^2+z^2>=2yzcosA+2zxcosB+2xycosC. (*)
证明：(*)<==>(z-ycosA-xcosB))^2+(ysinA-xcosB)^2>=0
特别地，在(*)式中，取x=y=z=1,即得
cosA+cosB+cosC=<3/2 (1)
在(*)式中，取A=B=C=π/3,即得
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx (2)
因此，不等式(*)是两个常用不等式(1),(2)的联合推广.
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2019-08-22
由于cosx在(0，丌/2]上为上凸函数，由琴生不等式得，cosA+cosB+cosC≤3cos(A+B+C/3)=3/2
请教一个三角不等式
本身就等价于Gerretsen不等式:s^2<=4R^2+4Rr+3r^2 而 (cosA+cosB+cosC)^2\/(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA)>=1 也等价于Gerretsen不等式:s^2<=4R^2+4Rr+3r^2
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