第1个回答 2008-08-01
不等式的证明方法
(1)比较法:作差比较: .
作差比较的步骤:
①作差:对要比较大小的两个数(或式)作差.
②变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和.
③判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小.
(2)综合法:由因导果.
(3)分析法:执果索因.基本步骤:要证……只需证……,只需证……
①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达.
(4)反证法:正难则反.
(5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有:
①添加或舍去一些项,如: ; ;
②将分子或分母放大(或缩小);
③利用基本不等式,如: ;;
(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元.
如:已知 ,可设 ;
已知 ,可设 ( );
已知 ,可设 ;
已知 ,可设 ;
(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;
证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.
⑻数学归纳法法:数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.本回答被提问者和网友采纳
第2个回答 2008-08-01
g3.1039 不等式证明方法(二)
一、知识回顾
1、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,从而肯定原结论的正确;
2、放缩法:欲证 ,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量使得 (或 ),常用的放缩方式:
舍去或加上一些项;
; ;
3、换元法:三角换元、代数换元;
4、判别式法
二、基本训练:
1、实数 、 、 不全为零的条件为( )
、 、 全不为零 、 、 中至多只有一个为零
、 、 只有一个为零 、 、 中至少有一个不为零
2、已知 , ,则有( )
3、为已知 ,则 的取值范围是 。
4、设 , ,则 、 大小关系为 。
5、 实数 ,则 的取值范围是 。
三、例题分析:
例1、x>0,y>0,求证:
例2、函数 ,求证:
例3、 (三角换元法)
例4、求证: (判别式法)
例5、若a,b,c都是小于1的正数,求证: .
(反证法)
例6、求证: (放缩法)
例7、设二次函数 ,若函数 的图象与直线 和 均无公共点。
(1) 求证:
(2) 求证:对于一切实数 恒有
四、课堂小结:
1、凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.
2、换元法(主要指三角代换法)多用于条件不等式的证明,此法若运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.
3、含有两上字母的不等式,若可化成一边为零,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑判别式法,并注意根的取值范围和题目的限制条件.
4、有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证,放缩时要看准目标,做到有的放矢,注意放缩适度.
五、同步练习g3.1039 不等式证明方法(二)
1、若 且 ,则 的取值范围是( )
2、已知 ,则下列各式中成立的是( )
3、设,y∈R,且x +y =4,则 的最大值为( )
A) 2- B)2+2 C) -2 D)
4、若f(n)= -n,g(n)=n- ,φ(n)= ,则f(n),g(n),ф(n)的大小顺序为____________.
5、设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1; ②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1,其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是____________.
6、a、b、c∈R-,a≠b,求证:
7、a>b>c,求证:
(提示:换元法,令a-b=m∈R+,b-c=n∈R+)
8、若 ,求证:
9、已知 ,求证: 中至少有一个不少于 。
10、已知 、 、 是整数且 ,试证明:
(1) ;
(2) .
答案:DCB 4、g(n)>ф(n)> f(n) 5、③