大学高等代数矩阵证明题 （合同标准型）
设A为实对称矩阵，则
1)存在正实数t，使tE+A正定；
2)存在正实数t，使E+tA正定；
3)若可逆，则A与A逆有相同的正、负惯性指数，特别地，A正定的充要条件是A逆正定。
在第一问中
A为实对称矩阵，则T'AT=diag(d1,d2,...,dn)
...............
T正交，T逆=T' (这里怎么说明T是正交的）
...............
所以 T逆(tE+A)T=T逆tET+T逆AT=tE+T'AT=diag(t+d1,t+d2,...,t+dn)
因为本人对这个的思路有点混乱，过程最好能写详细点，第二第三个问也要回答
PS：在第一问中是怎么说明存在正交阵T满足T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个分解的，普分解定理我没学，说这个我不明白的
第1个回答 2010-02-01
T^{-1}=T'就是正交阵的定义，没什么好说的。
仅仅从T'AT=diag(d1,d2,...,dn)不可能推出T正交。存在正交阵满足这个分解是由谱分解定理来保证的。
整个问题你只要知道A的特征值和惯性指数的关系就行了。
补充：
任取A的一个特征向量并张成Hermite阵Q，作用到A上之后
Q'AQ=
d1 0
0 A22
再归纳就得到谱分解。
(1)和(2)等价，(1),(2),(3)都是谱分解的直接推论，没有任何难度。
仅仅从T'AT=diag(d1,d2,...,dn)不可能推出T正交。存在正交阵满足这个分解是由谱分解定理来保证的。
整个问题你只要知道A的特征值和惯性指数的关系就行了。
补充：
任取A的一个特征向量并张成Hermite阵Q，作用到A上之后
Q'AQ=
d1 0
0 A22
再归纳就得到谱分解。
(1)和(2)等价，(1),(2),(3)都是谱分解的直接推论，没有任何难度。
第2个回答 2010-02-02
T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个是相似标准型
第3个回答 2010-02-02
利用“实对称矩阵A是正定阵的充要条件是A的所有特征值大于0”即可完成所有证明。
因A是实对称阵，所以A的所有特征值是实数，可设A的最小特征值是a, 最大特征值是b。
问题1中，取t>-a即可。
问题2中，
若A特征值全大于或等于0，则t可取任意正数；
若A特征值全小于0，则t可取任意负数；
若A特征值有正有负，则取-1/b<t<-1/a。
问题3中，
若A可逆，则A逆的特征值与A的特征值恰好互为倒数，即若A的特征值是a1,a2,...,an，则A逆的所有特征值一定是1/a1, 1/a2, ..., 1/an。显然他们的符号完全相同。我们知道A的正惯性指数由A的正特征值个数决定，负惯性指数由A的负特征值个数决定。因此，A与A逆有相同的正、负惯性指数。
当A正定时，A的特征值全正，因此A逆的特征值全正，故A逆也正定。同理当A逆正定时，A逆的特征值全正，因此A的特征值全正，故A也正定。
（注：此结论也可以用A正定的充要条件是A的正惯性指数是n来证。证略）
因A是实对称阵，所以A的所有特征值是实数，可设A的最小特征值是a, 最大特征值是b。
问题1中，取t>-a即可。
问题2中，
若A特征值全大于或等于0，则t可取任意正数；
若A特征值全小于0，则t可取任意负数；
若A特征值有正有负，则取-1/b<t<-1/a。
问题3中，
若A可逆，则A逆的特征值与A的特征值恰好互为倒数，即若A的特征值是a1,a2,...,an，则A逆的所有特征值一定是1/a1, 1/a2, ..., 1/an。显然他们的符号完全相同。我们知道A的正惯性指数由A的正特征值个数决定，负惯性指数由A的负特征值个数决定。因此，A与A逆有相同的正、负惯性指数。
当A正定时，A的特征值全正，因此A逆的特征值全正，故A逆也正定。同理当A逆正定时，A逆的特征值全正，因此A的特征值全正，故A也正定。
（注：此结论也可以用A正定的充要条件是A的正惯性指数是n来证。证略）
参考资料：更多关于《高等代数》问题，可以参考http://gdjpkc.xmu.edu.cn
本回答被提问者采纳
相似回答
