利用奇偶性求(sinx)^2ln(x+根号下4+x^2)在负二分之π到二分之π的积分

如题所述

约定：∫[a,b]表示[a,b]上的定积分

原题是:利用奇偶性求∫[-π/2,π/2](sinx)^2ln(x+√(4+x^2))dx

解：∫[-π/2,π/2](sinx)^2ln(x+√(4+x^2))dx (设x=2sht,双曲函数)
=∫[-acsh(π/4),acsh(π/4)](sin(2sht))^2.ln((2sht)+√(4+(2sht)^2))d(2sht)
=2∫[-acsh(π/4),acsh(π/4)](sin(2sht))^2.t.cht dt

其中 u=(sin(2sht))^2是偶函数,v=t.cht 是奇函数
得g(t)=(sin(2sht))^2.t.cht 是奇函数。
所求定积分就是一个奇函数在对称区间上的积分。

所以 ∫[-π/2,π/2](sinx)^2ln(x+√(4+x^2))dx
=2∫[-acsh(π/4),acsh(π/4)](sin(2sht))^2.t.cht dt
=0

希望对你有点帮助！

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