极限存在的数列一定是收敛数列,根据定义:
设数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列。所以:数列收敛<=>数列存在唯一极限。
收敛的数列{xn},在n→∞时,xn→A,这个A是一个固定的极限值,是一个常数,所以必然有界。如果数列{Xn}收敛,那么该数列必定有界。推论:无界数列必定发散;数列有界,不一定收敛;数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。
扩展资料:
收敛数列与其子数列间的关系:
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M;
若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的。
如果数列{Xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。