设S＝1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4
n(n+1)×3＝n(n+1)[（n+2）-（n-1）]=n(n+1)(n+2)－(n-1)n(n+1)
则3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋n(n+1)×3=n(n+1)(n+2)
S＝1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
当n=99时，S=99×100×101÷3=333300
1×2×3＝1×2×3
2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3
3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4
n(n+1)×3＝n(n+1)[（n+2）-（n-1）]=n(n+1)(n+2)－(n-1)n(n+1)
则3S＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋n(n+1)×3=n(n+1)(n+2)
S＝1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
当n=99时，S=99×100×101÷3=333300
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第1个回答 2013-10-16
思路如下：
考虑通用性，研究一下1/[n(n+1)(n+2)]与1/n,1/(n+1),1/(n+2)的关系，可以知道下式成立：
1/[n(n+1)(n+2)]=1/2*[1/n+1/(n+2)]-1/(n+1),于是可以列出：
1/(1*2*3)=1/2(1+1/3)-1/2
1/(2*3*4)=1/2(1/2+1/4)-1/3
1/(3*4*5)=1/2(1/3+1/5)-1/4
1/(4*5*6)=1/2(1/4+1/6)-1/5
1/(5*6*7)=1/2(1/5+1/7)-1/6
......
1/(96*97*98)=1/2(1/96+1/98)-1/97
1/(97*98*99)=1/2(1/97+1/99)-1/98
1/(98*99*100)=1/2(1/98+1/100)-1/99
将上面98个式子加起来，研究等式右侧前后项抵消的关系，可以得到，
＝1/2*1/2+1/2*1/99+1/2*1/100-1/99
=9898/39600=4949/19800
=333300本回答被提问者采纳
考虑通用性，研究一下1/[n(n+1)(n+2)]与1/n,1/(n+1),1/(n+2)的关系，可以知道下式成立：
1/[n(n+1)(n+2)]=1/2*[1/n+1/(n+2)]-1/(n+1),于是可以列出：
1/(1*2*3)=1/2(1+1/3)-1/2
1/(2*3*4)=1/2(1/2+1/4)-1/3
1/(3*4*5)=1/2(1/3+1/5)-1/4
1/(4*5*6)=1/2(1/4+1/6)-1/5
1/(5*6*7)=1/2(1/5+1/7)-1/6
......
1/(96*97*98)=1/2(1/96+1/98)-1/97
1/(97*98*99)=1/2(1/97+1/99)-1/98
1/(98*99*100)=1/2(1/98+1/100)-1/99
将上面98个式子加起来，研究等式右侧前后项抵消的关系，可以得到，
＝1/2*1/2+1/2*1/99+1/2*1/100-1/99
=9898/39600=4949/19800
=333300本回答被提问者采纳
第2个回答 2012-12-22
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