如果x1,...,xk是n阶矩阵A关于
特征值λ的线性无关的
特征向量令X=[x1,...,xk], X是一个列满秩的nxk的矩阵
存在n阶
可逆矩阵Y使得Y的前k列是X,即Y=[X,*]
令B=Y^{-1}AY,则AY=YB,利用分块乘法可以得到
B=
λI_k *
0 *
所以B至少有k个特征值是λ
这就说明代数重数一定不会小于几何重数
另一方面,如果λ是A的
特征多项式的根,即det(λI-A)=0
那么λI-A是奇异矩阵,线性方程组(λI-A)x=0有非零解,任何一个非零解都是λ对应的特征向量
所以(对于n阶矩阵而言)特征值的几何重数至少是1,不可能是0