知道里之前有人问过这个
∫e^(-x^2)dx=∫e^(-y^2)dy
而∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy
=∫∫e^(-y^2)*e^(-x^2)dxdy
=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy
然后是用极坐标换元，x=rcosa,y=rsina r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π]
=∫∫re^(-r^2)drda (r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π])
=∫(0,2π)da*∫re^(-r^2)dr r属于[0,无穷大)，
=2π* 1/2*∫e^(-r^2)dr^2 r属于[0,无穷大)，
=π* ∫-de^(-r^2) r属于[0,无穷大)，
=π*[e^(-0^2)-lime^(-r^2)] r→无穷大
=π*(1-0)
=π
∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy=π=[∫e^(-x^2)dx]^2
易知∫e^(-x^2)dx>0
所以∫e^(-x^2)dx=√π
∫e^(-x^2)dx=∫e^(-y^2)dy
而∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy
=∫∫e^(-y^2)*e^(-x^2)dxdy
=∫∫e^(-x^2-y^2)dxdy
然后是用极坐标换元，x=rcosa,y=rsina r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π]
=∫∫re^(-r^2)drda (r属于[0,无穷大)，a属于[0,2π])
=∫(0,2π)da*∫re^(-r^2)dr r属于[0,无穷大)，
=2π* 1/2*∫e^(-r^2)dr^2 r属于[0,无穷大)，
=π* ∫-de^(-r^2) r属于[0,无穷大)，
=π*[e^(-0^2)-lime^(-r^2)] r→无穷大
=π*(1-0)
=π
∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy=π=[∫e^(-x^2)dx]^2
易知∫e^(-x^2)dx>0
所以∫e^(-x^2)dx=√π
参考资料：百度知道
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2012-10-30
∫e^(-x^2)dx =√[∫e^(-x^2)dx ]²=√[∫e^(-x^2)dx] [∫e^(-x^2)dx ]=√[∫e^(-x^2)dx] [∫e^(-y^2)dy ]
剩下就是解二重积分的问题了
剩下就是解二重积分的问题了
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