记这个数列为{x[n]}，且|x[n]|<=M
因为{x[n]}有界，所以有一个收敛子列{x[n[k]]}，设收敛到a。
因为{x[n]}发散，所以a不是极限，所以存在正数e（不妨设a+e或a-e∈(-M,M)），对任意正整数N=N(e)，都存在n=n(e)>N使得|x[n]-a|>=e
也就是存在数列{x[n[m]]}，使得|x[n[m]]-a|>=e，即x[n[m]]>=a+e或x[n[m]]<=a-e
必有x[n[m]]的无限项满足其中一个条件，即必有x[n[m]]的子列（记为y[n]吧。。。下角标太多了。。。）使得所有y[n]>=a+e或所有y[n]<=a-e
不妨设所有y[n]>=a+e，则y[n]∈[a+e,M]有界，所以y[n]有收敛子列z[n]（这个也是x[n]的子列），且极限>=a+e>a
因为{x[n]}有界，所以有一个收敛子列{x[n[k]]}，设收敛到a。
因为{x[n]}发散，所以a不是极限，所以存在正数e（不妨设a+e或a-e∈(-M,M)），对任意正整数N=N(e)，都存在n=n(e)>N使得|x[n]-a|>=e
也就是存在数列{x[n[m]]}，使得|x[n[m]]-a|>=e，即x[n[m]]>=a+e或x[n[m]]<=a-e
必有x[n[m]]的无限项满足其中一个条件，即必有x[n[m]]的子列（记为y[n]吧。。。下角标太多了。。。）使得所有y[n]>=a+e或所有y[n]<=a-e
不妨设所有y[n]>=a+e，则y[n]∈[a+e,M]有界，所以y[n]有收敛子列z[n]（这个也是x[n]的子列），且极限>=a+e>a
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
无其他回答
相似回答
