方法一:
设x+y=t，代入椭圆方程得
x²/4+(t-x)²=1，
即5x²-8tx+4(t²-1)=0.
上式判别式不小于0，故
△=64t²-80(t²-1)≥0.
解得，-√5≤t≤√5.
故所求最大值√5;
所求最小值为-√5。
方法二:
依Cauchy不等式得
1=x²/4+y²/1
≥(x+y)²/(4+1)，
∴-√5≤x+y≤√5.
所求最大值为√5;
所求最小值为-√5.
此法最简洁。
方法三:
依椭圆参数方程得，
x=2cosθ，y=sinθ.
∴x+y
=2cosθ+sinθ
=√5sin(θ+φ)
(其中，tanφ=4)
∴sin(θ+φ)=1时，
所求最大值为√5;
sin(θ+φ)=-1时，
所求最小值为-√5。
设x+y=t，代入椭圆方程得
x²/4+(t-x)²=1，
即5x²-8tx+4(t²-1)=0.
上式判别式不小于0，故
△=64t²-80(t²-1)≥0.
解得，-√5≤t≤√5.
故所求最大值√5;
所求最小值为-√5。
方法二:
依Cauchy不等式得
1=x²/4+y²/1
≥(x+y)²/(4+1)，
∴-√5≤x+y≤√5.
所求最大值为√5;
所求最小值为-√5.
此法最简洁。
方法三:
依椭圆参数方程得，
x=2cosθ，y=sinθ.
∴x+y
=2cosθ+sinθ
=√5sin(θ+φ)
(其中，tanφ=4)
∴sin(θ+φ)=1时，
所求最大值为√5;
sin(θ+φ)=-1时，
所求最小值为-√5。
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