定义1:
如果对于任意给定的正数M,都存在δ>0(或正数X),
使当0<|x-x0 |<δ<(或|x|>X)时,
“恒有”|f(x)| > M,则称f(x)是x→x0(或x—∞)时的“
无穷大量”
.定义2:
如果对于任意给定的正数M,都存在
函数定义域中的一点x* ,使|f(x*)| ≥M,则称,f(x)是“无界变量”.
由上述定义可知,如果f(x)是x→x0(或x—∞)时的无穷大量,则f(x)必是无界变量,
反过来,无界变量却不一定是无穷大量.
举例说明:
例如1:数列
1, 1/2, 3, 1/4, ………… ,2n一1, 1/(2n)…………
是无界数列,但却不是无穷大量.
无穷大量要求对任给正数M,数列自某项之后将 均 满足| xn | > M.
显然,上面数列中的偶数项不能满足这一要求.-----------这个才是重点
例如2:变量 x sinx 是无界变量,这是因为对于任意的正数M,都存在
x=π/2 *(2[M取整]+1)=0.5π + [M取整]π,
使| x * sin (x) |=[M取整]十π/2 > M
但是,xsinx不是x的任何变化过程中的无穷大量.------------注意是“任何变化过程中”
无论对于某一点x0,因为对任意的x0,x→x0时,极限总不会→∞吧!
也无论是对于x→∞,因为对任意的正数X,都存在一些特殊点x = nπ> X (只要n > X/π),使得总是有f(x)=xsinx=0.
****************** 总结 ************
无穷大(量)是指在变量的某种趋向下,对应的函数值的变化趋势,其
绝对值无限增大,要求适合给定不等式0 <| |<δ 或 |x| > M 的“一切”x都要满足 f(x)大于 任给的正数M;而
无界函数定义中的不等式f(x)大于M,只要求在 | |中 有一个x满足即可,并不要所有的I都满足.
它们之间的联系是:如果f(x)是无穷大,则f(x)必定无界.反之f(x)无界时,却不一定是无穷大------这家伙要求很高的.