如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π2）的部分图象．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；

如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π2）的部分图象．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和；（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移2π3个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，5π6]上至多有一个解，求正数k的取值范围．

解：（Ⅰ）由图可知：A=1，

1

2

T=

π

ω

=

5π

6

?

π

3

，
∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）又由图可知：（

π

3

，0）
是五点作图法中的第三点，
∴2×

π

3

+φ=π，即φ=

π

3

，∴f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+

π

3

）的周期为π，
f（x）=sin（2x+

π

3

）在[0，2π]内恰有2个周期．
（1）当0＜a＜

3

2

时，方程sin（2x+

π

3

）=a在[0，2π]内有4个实根，
设为x₁、x₂、x₃、x₄，
结合图象知 x₁+x₂=

7π

6

、x₃+x₄=

19π

6

，故所有实数根之和为

13π

3

．
（2）当a=

3

2

时，方程sin（2x+

π

3

）=a在[0，2π]内有5个实根为0、

π

6

、π、

7π

6

、2π，
故所有实数根之和为

13π

3

．
（Ⅲ）把函数y=f（x）=sin（2x+

π

3

）的图象的周期扩大为原来的两倍，
则函数为y=sin（x+ 温馨提示：内容为网友见解，仅供参考

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