n*n的实对称矩阵一定存在 n个相互正交的特征向量,因为实对称矩阵可以特征值分解为 QDQ‘,其中 Q为正交矩阵,D为对角阵(对角线元素为特征值)。
这不是说相同特征值的不同的特征向量一定相互正交,而是说对于相同特征值也一定存在一组相互正交的特征向量。假设对于某个特征值(重根),你求得了它的一组不相互正交的特征向量,那么可以通过正交化把他们变成一组相互正交的特征向量。
证明如下:
设λ1,λ2是两个A的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2分别取转置。
分别两边右乘α2和α1,得α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1
对应相减并注意到α2' * A' * α1=(α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0
因此 α1' * α2 = 0
即 α1与α2 正交。
扩展资料:
实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为单位矩阵。
把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质):
1.(A')'=A
2.(A+B)'=A'+B'
3.(kA)'=kA'(k为实数)
4.(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等,即aij=aji对任意i,j都成立。
参考资料来源:百度百科——实对称矩阵
n*n的实对称矩阵一定存在 n个相互正交的特征向量,因为实对称矩阵可以特征值分解为 QDQ‘,其中 Q为正交矩阵,D为对角阵(对角线元素为特征值)。
这不是说相同特征值的不同的特征向量一定相互正交,而是说对于相同特征值也一定存在一组相互正交的特征向量。假设对于某个特征值(重根),你求得了它的一组不相互正交的特征向量,那么可以通过正交化把他们变成一组相互正交的特征向量。
证明如下:
设λ1,λ2是两个A的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2分别取转置。
分别两边右乘α2和α1,得α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1
对应相减并注意到α2' * A' * α1=(α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0
因此 α1' * α2 = 0
即 α1与α2 正交。
正交矩阵的相关性质
1、方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;
2、方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;
3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;
4、A的列向量组也是正交单位向量组;
5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
实对称矩阵的主要性质:
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2、实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。
3、n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4、若λ具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λE-A)=n-k,其中E为单位矩阵。
参考资料来源:百度百科——实对称矩阵
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