高等数学，不定积分求法，∫(2x+1)/x(x-1)^2dx，写出具体步骤，谢谢

显然这道题是有理函数的积分，我只想知道第一步怎么弄的？第一步化成部分分式之和的依据是什么？我已将该题分值升到40分，麻烦高手帮忙

设(2x+1)/[x(x-1)²]=A/x+(Bx+C)/(x-1)², 则
A(x-1)²+(Bx+C)x=2x+1
化简得
(A+B)x²+(C-2A)x+A=2x+1
∴A+B=0
C-2A=2
A=1
解得
A=1, B=-1, C=4
∴(2x+1)/[x(x-1)²]=1/x+(4-x)/(x-1)²=1/x-(x-1-3)/(x-1)²=1/x-1/(x-1)+3/(x-1)²
∫(2x+1)/[x(x-1)²] dx
=∫ [1/x-1/(x-1)+3/(x-1)²] dx
=∫ (1/x) dx-∫[1/(x-1)]dx+3∫1/(x-1)²dx
=ln|x|-ln|x-1|-3/(x-1)+C
=ln|x/(x-1)|-3/(x-1)+C
C为任意常数追问

显然这道题是有理函数的积分，我只想知道第一步怎么弄的？第一步化成部分分式之和的依据是什么？我已将该题分值升到40分，麻烦高手帮忙

追答

这类问题通常都通过把复杂分式化成几个简单分式之和来分别求积分
各简单分式分别为原分式分母的因式，通过待定系数法确定各个简单分式的分子

追问

大哥，我看到书上是设(2x+1)/[x(x-1)²]=A/x+b/(x-1)²+c/x-1不是你那样的，虽然你的答案是对的。而当初我做时是设(2x+1)/[x(x-1)²]=A/x+b/(x-1)+c/x-1，到底怎么做？

追答

两种方式都是可以的

因为你可以很容易地发现
b/(x-1)²+c/(x-1)=b/(x-1)²+c(x-1)/(x-1)²=(cx+b-c)/(x-1)², 令c=B, b-c=C
则b/(x-1)²+c/(x-1)=(cx+b-c)/(x-1)²=(Bx+C)/(x-1)²

我更习惯用(Bx+C)/(x-1)²，因为可以节省一个分式，也就少做一步通分，呵呵

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