为什么 xdx=(x+y)dy不是一阶线性微分方程，而ydx=(x+y^2)dy却是一阶线性微分方程？
高数工本（00023）第221页《习题五》选择题，第5小题。
第一个表达式的y是一次的，第二个表达式的y是二次的，为什么第二个还是一阶线性微分方程而第一个表达式却不是？我要清楚的说明，不要像辅导里的答案说，根据定义，所以。。。
原题目是：下列方程是一阶线性微分方程的是：
A，y' - xsiny = 10 B，ydx=(x+y^2)dy
C，xdx=(x+y)dy D，y' = x^3y^2 + 3
书上答案及辅导上答案都是B，所有表达式我无法写成 y' + P(x)y = Q(x)形式，真气人
线不线性不一定是看y的
线性的定义如下
对于微分方程 Ly=f(y',y)=rhs
rhs表示与y无关的项
只需要L(a*y)=a*L(y)
L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
那么方程就是线性的
A.Ly=y'-x*siny=10
L(2y)=2y'-x*sin(2y)
显然sin(2y)不恒等于2sin(y)
所以L(2y)不等于2L(y),非线性
倒过来看
Lx=x'-1/(10+xsiny)显然非线性
B.看Ly=y'-y/(x+y^2)时显然非线性
但是看Lx的话却是线性的
Lx=x'-x/y=y
L(x1+x2)=(x1+x2)'-(x1+x2)/y=L(x1)+L(x2)
L(a*x)=ax'-ax/y=a(x'-x/y)=aL(x)
所以线性
C.D.同理可得非线性
线性方程不一定是对于dy/dx的，也可以是dx/dy的
线性的定义如下
对于微分方程 Ly=f(y',y)=rhs
rhs表示与y无关的项
只需要L(a*y)=a*L(y)
L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
那么方程就是线性的
A.Ly=y'-x*siny=10
L(2y)=2y'-x*sin(2y)
显然sin(2y)不恒等于2sin(y)
所以L(2y)不等于2L(y),非线性
倒过来看
Lx=x'-1/(10+xsiny)显然非线性
B.看Ly=y'-y/(x+y^2)时显然非线性
但是看Lx的话却是线性的
Lx=x'-x/y=y
L(x1+x2)=(x1+x2)'-(x1+x2)/y=L(x1)+L(x2)
L(a*x)=ax'-ax/y=a(x'-x/y)=aL(x)
所以线性
C.D.同理可得非线性
线性方程不一定是对于dy/dx的，也可以是dx/dy的
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2011-10-21
这两个应该都不是一阶线性微分方程。
一阶线性指的是各阶导数的系数是常数。
一阶线性指的是各阶导数的系数是常数。
第2个回答 2011-10-22
A D 很容易直接排除 至于B做个变形 dx/dy-(1/y)x=y 清楚了吧？所谓y与x只是个习惯表达而已 y是x的函数，换种形式看，x不也是y的函数啊 c就不用多说了吧
第3个回答 2011-10-21
一阶线性是相对于y及其倒数是一阶来说的，dy/dx+P(x）y=Q(x) 格式。 一样看比较迷惑人，你化成标准形式就能看出来，所谓数学就是这样。 （y'=dy/dx）
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