解：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
=（1^2+1）+（2^2+2）+（3^2+3）+…（n^2+n）
=（1^2+2^2+3^2+...+n^2）+（1+2+3+...+n）
而，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
则：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
=（1^2+2^2+3^2+...+n^2）+（1+2+3+...+n）
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=1/3*n*（n+1）*（n+2）
扩展资料：
数列求和的方法
1、公式法
（1）等差数列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n
（2）等比数列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）
（3）平方和公式：（1^2+2^2+3^2+...+n^2）=n(n+1)(2n+1)/6
2、错位相减法
3、倒序相加法
4、分组法
5、裂项相消法
参考资料来源：百度百科-数列求和
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 推荐于2017-09-27
1×2＝1/3（1×2×3 - 0×1×2）
2×3=1/3（2×3×4 - 1×2×3）
3×4=1/3（3×4×5 - 2×3×4）
.........
n（n+1）＝1/3[n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)]
所以1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）
＝1/3[1×2×3 - 0×1×2+2×3×4 - 1×2×3+3×4×5 - 2×3×4+.....+n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)]
=1/3[ - 0×1×2+1×2×3 - 1×2×3+2×3×4 - 2×3×4+3×4×5+..... - (n-1)×n×(n+1)+n×(n+1)×(n+2）]
=1/3[n×(n+1)×(n+2）]本回答被网友采纳
2×3=1/3（2×3×4 - 1×2×3）
3×4=1/3（3×4×5 - 2×3×4）
.........
n（n+1）＝1/3[n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)]
所以1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）
＝1/3[1×2×3 - 0×1×2+2×3×4 - 1×2×3+3×4×5 - 2×3×4+.....+n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)]
=1/3[ - 0×1×2+1×2×3 - 1×2×3+2×3×4 - 2×3×4+3×4×5+..... - (n-1)×n×(n+1)+n×(n+1)×(n+2）]
=1/3[n×(n+1)×(n+2）]本回答被网友采纳
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