抛硬币100次，出现10次以上连续正面的概率是多少？
抛硬盘10次都是正面的概率是1/(2^10)。如果抛硬币100次，就有2^100种情况，其中有多少种情况中出现过10次以上连续正面。或者说出现10次以上连续正面的概率是多少？
http://zhidao.baidu.com/question/32944868.html?fr=qrl
http://zhidao.baidu.com/question/4010587.html?fr=qrl
这两个问题我都看过，但是都觉得不满意，小弟就这么多分数了，希望能有高人帮忙解惑，非常感激！
最好有思路，或者递推公式等等
本题的关键在于计算连续10次以上出现正面的情况数.
假设n个硬币出现连续10次以上正面的可能次数为An,
现在我们来计算An的递推式.
我们把"第一组连续10次以上出现正面的第一个硬币"简称为"第零硬币"
如果第零硬币排在第一位,那么可能次数为B1=2^(n-10)
如果第零硬币排在第二位,那么可能次数为B2=2^(n-11)
(这是由于第一个硬币不能是正面,
否则第零硬币排在第一位而不是
第二位)
如果第零硬币排在第三位,那么可能次数为B3=2*2^(n-12)=2^(n-11)
同理对于第零硬币排在第2-11位,可能次数都是2^(n-11)
如果第零硬币排在第12位,可能次数为B12=2^(n-11)-(A10)*2^(n-21)
(这是由于为了保证第零硬币排在第12位,不但要求
第11个硬币是反面,还要求前10个硬币中不出现
10枚连续正面的硬币)
同理
如果第零硬币排在第m位,可能次数为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)
所以有An=B1+B2+...+B(n-9)
具体的通项公式建议使用mathematica之类的数学软件,这个我不是很精通.
回多云有冰雹同学：
“比如第1到10次为正面，第21到30次也为正面的情况，就被重复计算了”
如果出现上面的情况，那么这种排列被计算在B1中而不会被计算在B21中
因为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)，
后面一项减法减去了在前面的1－20枚硬币提前出现连续十枚向上的情况。
前91次出现正面的概率为1-1/（2^91），其中1/（2^91)是全反的概率，在此基础上再连续抛9次正面的概率是1/（2^9)
所以总的概率为（1-1/（2^91））*（1/（2^9)）约为0.001953
首先抛100次硬币所有可能情况为2^100.
本题的关键在于计算连续10次以上出现正面的情况数.
假设n个硬币出现连续10次以上正面的可能次数为An,
现在我们来计算An的递推式.
我们把"第一组连续10次以上出现正面的第一个硬币"简称为"第零硬币"
如果第零硬币排在第一位,那么可能次数为B1=2^(n-10)
如果第零硬币排在第二位,那么可能次数为B2=2^(n-11)
(这是由于第一个硬币不能是正面,
否则第零硬币排在第一位而不是
第二位)
如果第零硬币排在第三位,那么可能次数为B3=2*2^(n-12)=2^(n-11)
同理对于第零硬币排在第2-11位,可能次数都是2^(n-11)
如果第零硬币排在第12位,可能次数为B12=2^(n-11)-(A10)*2^(n-21)
(这是由于为了保证第零硬币排在第12位,不但要求
第11个硬币是反面,还要求前10个硬币中不出现
10枚连续正面的硬币)
同理
如果第零硬币排在第m位,可能次数为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)
所以有An=B1+B2+...+B(n-9)
具体的通项公式建议使用mathematica之类的数学软件,这个我不是很精通.
回多云有冰雹同学：
“比如第1到10次为正面，第21到30次也为正面的情况，就被重复计算了”
如果出现上面的情况，那么这种排列被计算在B1中而不会被计算在B21中
因为Bm=2^(n-11)-(A(m-2))*2^(n-m-9)，
后面一项减法减去了在前面的1－20枚硬币提前出现连续十枚向上的情况。
（若只需要结论，请查看此回答末尾的“综上所述”，以下为推导过程）
总共有2^100种情况，现需求出：包含连续10次正面朝上的情况 的次数
下面讨论：包含连续10次正面朝上的情况(用+表示正；-表示反；o表示任意情况；x表示任意情况中除去某些情况)
1. ++++++++++ooo…… 共2^90种情况
2. -++++++++++ooo…… 共2^0*2^89=2^89种情况
3. o-++++++++++ooo…… 共2^1*2^88=2^89种情况
4. oo-++++++++++ooo…… 共2^2*2^87=2^89种情况
……以此类推，2~11都有2^89种情况
但从12次开始，情况变为
xxxxxxxxxx-++++++++++ooo……
其中xxxxxxxxxx需除去++++++++++这 一种 情况
所以共 (2^10-1)*2^79 种情况
13. xxxxxxxxxxx-++++++++++ooo……
需除去++++++++++-和+++++++++++和-++++++++++这3种情况
共 (2^11-3)*2^78 种情况
……
不难发现，这样继续讨论下去会十分冗长，且不能得到普遍规律
因此我们需要讨论 x…… 需除去哪些情况
我们发现，x……中需除去的情况为：包含连续10次+的情况。
因此记 (抛n次，出现m次连续正面的情况) 的次数为a_m_n，方便接下来的讨论。
易得：
当0≤n≤m-1时，a_m_n=0
当n=m时，a_m_n=1
接下来求当m+1≤n时，a_m_n的值
以m=2为例，a_2_0=a_2_1=0，a_2_2=1
a_2_3:++o,-++
=2^(3-2)+2^(3-2-1)*(2^0-a_2_0)
a_2_4:++oo,-++o,o-++
=2^(4-2)+2^(4-2-1)*(2^0-a_2_0)+2^(4-2-2)*(2^1-a_2_1)
a_2_5:++ooo,-++oo,o-++o,xx-++
=2^(5-2)+2^(5-2-1)*(2^0-a_2_0)+2^(5-2-2)*(2^1-a_2_1)+2^(5-2-3)*(2^2-a_2_2)
……
由此我们找到了当m=2，m+1≤n时的规律：
a_m_n=2*a_m_(n-1)+2^(n-m-1)-a_m_(n-m-1)
显然，对于∀m∈N+，该式均成立
但我们要求的是概率，我们能不能求出概率的递推公式呢？
记 (抛n次，出现m次连续正面的情况) 的概率为b_m_n
则b_m_n=a_m_n/2^n ， a_m_n=b_m_n*2^n
所以
当0≤n≤m-1时，b_m_n=0
当n=m时，b_m_n=1/2^n
当m+1≤n时，
b_m_n
=a_m_n/2^n
=[2*a_m_(n-1)+2^(n-m-1)-a_m_(n-m-1)]/2^n
=[2*b_m_(n-1)*2^(n-1)+2^(n-m-1)-b_m_(n-m-1)*2^(n-m-1)]/2^n
=b_m_(n-1)+[1-b_m_(n-m-1)]/2^(m+1)
综上所述，记 (抛n次，出现m次连续正面的情况) 的次数为a_m_n，概率为b_m_n
有
当0≤n≤m-1时， a_m_n=0
b_m_n=0
当n=m时， a_m_n=1
b_m_n=1/2^n
当m+1≤n时， a_m_n=2*a_m_(n-1)+2^(n-m-1)-a_m_(n-m-1)
b_m_n=b_m_(n-1)+[1-b_m_(n-m-1)]/2^(m+1)
根据上述算式即可计算b_10_100的值（我用计算机算出来的结果≈0.04413722864042169）
希望我的回答对你们有帮助
若有纰漏，望指正
正正正正 反反反 正 反反 正正 反反反反……
定义有序实数对
(a1,a2,……,ak)
a1＝4
a2=3
a3=1
a4=2
a5=2
a6=4
……
满足
a1＋a2+a3+……+ak=100
1<=a(2i)
1<=a(2i-1)<=9
你要从k＝2一直考虑到k=100
如果是第一次反，例如
反反反反反反 正 反反 正正 反反反反 正正 ……
定义有序实数对
(b1,b2,……,bm)
b1＝6
b2=1
b3=2
b4=2
b5=4
b6=2
……
满足
b1＋b2+b3+……+bm=100
1<=b(2i)<=9
1<=b(2i-1)
你要从m＝1一直考虑到m=100
下面要求有序实数对
(a1,a2,……，ak)和(b1.b2,……,bm)的个数
两个个数相加，就是不出现>＝10次连续正面的情况的数量！
2^100-（不出现>＝10次连续正面的情况的数量）=所求！
这已经转化为组合计数问题啦！期待高人！！（我还在努力奋斗中……）
P(A)=1-1/2(10次方)=1-1/1024=1023/1024
则在100次中可能连续出现10次正面的次数为(100-10+1)=91,则
设B={掷100次硬币不连续10次出现正面}，
B的补集为={掷100次硬币，连续10次出现正面}。
P（B）=(P(A))(91次方),则P(B)=(1023/1024)（91次方）=0.915(这个用计算器算)
B的补集，即本题答案应为:1-0.915=0.085
同学可以参考http://tieba.baidu.com/f?kz=157279992
