最后的答案是³√(abc)：三次根号abc。如果懂泰勒展开的话，我有下面的作法：
当x→0时，有下面的泰勒展开式：
a^x=e^(x lna)=1+x lna +(xlna)²/2!+(xlna)³/3!......
b^x=e^(x lnb)=1+x lnb +(xlnb)²/2!+(xlnb)³/3!......
c^x=e^(x ln c)=1+x lnc +(xlnc)²/2!+(xlnc)³/3!......
可得(a^x+b^x+c^x)/3=1+x ln(³√abc) +(x ln(³√abc))²/2!+(x ln(³√abc))³/3!......=(³√abc)^x
所以极限为((³√abc)^x)^(1/x)=³√(abc)，要注意一点上面等式成立的条件是x→0。
另外《吉米多维奇》第一册555题，就是这个题，不过它的那个作法很麻烦。
当x→0时，有下面的泰勒展开式：
a^x=e^(x lna)=1+x lna +(xlna)²/2!+(xlna)³/3!......
b^x=e^(x lnb)=1+x lnb +(xlnb)²/2!+(xlnb)³/3!......
c^x=e^(x ln c)=1+x lnc +(xlnc)²/2!+(xlnc)³/3!......
可得(a^x+b^x+c^x)/3=1+x ln(³√abc) +(x ln(³√abc))²/2!+(x ln(³√abc))³/3!......=(³√abc)^x
所以极限为((³√abc)^x)^(1/x)=³√(abc)，要注意一点上面等式成立的条件是x→0。
另外《吉米多维奇》第一册555题，就是这个题，不过它的那个作法很麻烦。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2012-10-30
既然游子涯朋友对我的措辞颇有微言，那么我就修改一下
此题除泰勒展开外，还可以化为e的幂指数形式来做，具体如下
[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=e^[(1/x)ln(a^x+b^x+c^x)-ln3] ①
之后对指数求极限
lim[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x ②
x→0
明显0/0型，使用洛比达法则分子分母分别求导
②式=lim(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)
将x=0代入，即得到指数的极限为(1/3)ln(abc)，代入①式即得到(abc)^(1/3)，即³√(abc)
此题除泰勒展开外，还可以化为e的幂指数形式来做，具体如下
[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=e^[(1/x)ln(a^x+b^x+c^x)-ln3] ①
之后对指数求极限
lim[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x ②
x→0
明显0/0型，使用洛比达法则分子分母分别求导
②式=lim(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)
将x=0代入，即得到指数的极限为(1/3)ln(abc)，代入①式即得到(abc)^(1/3)，即³√(abc)
第2个回答 2012-10-29
可以看成一的无穷大来做，我打不出这样的数学符号，你自己琢磨一下。
第3个回答 2012-10-29
什么题追问
求积分
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