η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3,...,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,求证
η*,η*+ξ1,η*+ξ2,...η*+ξn-r线性无关
证明:设 kη*+k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0,等式两边左乘A, 由 Aη*=b, Aζi = 0 得kb = 0。
因为 AX=b 是非齐次线性方程组,故 b≠0。
所以 k = 0。
所以 k1ζ1+k2ζ2+...+kn-rζn-r = 0。
解的存在性:非齐次线性方程组有解的充分必要条件是:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,即rank(A)=rank(A, b)(否则为无解)。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。(rank(A)表示A的秩)。
扩展资料:
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
(1)对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
(2)若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
(3)设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于,即可写出含n-r个参数的通解。
参考资料来源:百度百科-非齐次线性方程组
求证的是η*,η*+ξ1,η*+ξ2,...η*+ξn-r线性无关,不是η*,ξ1,ξ2,...ξn-r线性无关QAQ