区别：
一、定义
1.
两矩阵等价：如果B可由A经过一系列初等变化得到，那么A,B等价。
A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ
2.
两向量组等价：是两个向量组可以互相线性表出。假设两个向量组分别为a1,a2,...,ar和b1,b2,...,bs，那么a1,a2,...,ar可由b1,b2,...,bs线性表出的意思是每一个ai(i=1,2,…,s)都可以由b1,b2,...,bs的某一个线性组合表示出来。
二、两个向量组等价，它们组成的矩阵不一定等价。
解释：两个等价的向量组所含向量个数可以不同，比如上面的定义中，一组向量有r个，而另一组有s个。但对于两个等价的矩阵，两矩阵必定是相同规格的。所以两等价向量组组成的矩阵不一定等价。
三、两个矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。
例：矩阵A=[第一行10
第二行0
0],B=[第一行0
0
第二行0
1]
,则容易看出A经一次初等行变换和一次初等列变化就可以化为B，即A,B等价，但A的列向量组与B的列向量组显然不能互相线性表出，同样他们的行向量组也不等价。故两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。
联系：
一、如果一个矩阵只经过初等行（或列）向量变成另一个矩阵，那么对应向量组等价。
证明：若s×n级矩阵A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ.这里将两个s×n级的矩阵都看作由n个s维的列向量，即A=(a1,a2,...,an),B=(b1,b2,...,bn),其中ai和bi都为s维向量(i=1,2,...n)则A=(a1,a2,...,an)=P(b1,b2,...,bn)Q
1.
若P=E，则A=(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)Q，即矩阵B只经过初等列变换得到A，同时右乘Q^-1得到(a1,a2,...,an)Q^-1=(b1,b2,...,bn)，容易得到a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn两个向量组等价。
2.
若Q=E，则A=(a1,a2,...,an)=P(b1,b2,...,bn)，即矩阵B只经过初等行变换得到A，同时左乘P^-1得到P^-1(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)，容易得到a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn两个向量组等价。
二、两个向量组等价且向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价。
证明：如果向量组a1,a2,...,an与b1,b2,...,bn等价，则它们有相同的秩，那么由a1,a2,...,an与b1,b2,...,bn分别组成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，可以得到矩阵A与B等价。
一、定义
1.
两矩阵等价：如果B可由A经过一系列初等变化得到，那么A,B等价。
A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ
2.
两向量组等价：是两个向量组可以互相线性表出。假设两个向量组分别为a1,a2,...,ar和b1,b2,...,bs，那么a1,a2,...,ar可由b1,b2,...,bs线性表出的意思是每一个ai(i=1,2,…,s)都可以由b1,b2,...,bs的某一个线性组合表示出来。
二、两个向量组等价，它们组成的矩阵不一定等价。
解释：两个等价的向量组所含向量个数可以不同，比如上面的定义中，一组向量有r个，而另一组有s个。但对于两个等价的矩阵，两矩阵必定是相同规格的。所以两等价向量组组成的矩阵不一定等价。
三、两个矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。
例：矩阵A=[第一行10
第二行0
0],B=[第一行0
0
第二行0
1]
,则容易看出A经一次初等行变换和一次初等列变化就可以化为B，即A,B等价，但A的列向量组与B的列向量组显然不能互相线性表出，同样他们的行向量组也不等价。故两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价。
联系：
一、如果一个矩阵只经过初等行（或列）向量变成另一个矩阵，那么对应向量组等价。
证明：若s×n级矩阵A,B等价<=>存在s级矩阵P和n级矩阵Q使得A=PBQ.这里将两个s×n级的矩阵都看作由n个s维的列向量，即A=(a1,a2,...,an),B=(b1,b2,...,bn),其中ai和bi都为s维向量(i=1,2,...n)则A=(a1,a2,...,an)=P(b1,b2,...,bn)Q
1.
若P=E，则A=(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)Q，即矩阵B只经过初等列变换得到A，同时右乘Q^-1得到(a1,a2,...,an)Q^-1=(b1,b2,...,bn)，容易得到a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn两个向量组等价。
2.
若Q=E，则A=(a1,a2,...,an)=P(b1,b2,...,bn)，即矩阵B只经过初等行变换得到A，同时左乘P^-1得到P^-1(a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)，容易得到a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn两个向量组等价。
二、两个向量组等价且向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价。
证明：如果向量组a1,a2,...,an与b1,b2,...,bn等价，则它们有相同的秩，那么由a1,a2,...,an与b1,b2,...,bn分别组成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，可以得到矩阵A与B等价。
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2020-05-11
向量组等价，是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示。
矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。
如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。
如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。
由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，
在行列数都相等的情况下，
两矩阵等价实际上就是秩相等，
反过来，
在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。
这与向量组等价略有区别：
向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，
但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。
举个简单例子：
向量组
a:
(1,0,0)，(0,1,0)
b:（0,0,1），(0,1,0)
两者秩都是2，但不能相互线性表示，因此不是等价的。、
而矩阵：
a:
1
0
0
0
1
0
b:
0
0
1
0
1
0
却是等价的
矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。
如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。
如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。
由于矩阵的行秩，与列秩相等，就是矩阵的秩，
在行列数都相等的情况下，
两矩阵等价实际上就是秩相等，
反过来，
在这种行列数都相等情况下，秩相等，就说明两矩阵等价。
这与向量组等价略有区别：
向量组等价，则两向量组的秩（极大线性无关组中向量个数）相等，
但反过来不一定成立，即两向量组的秩相等，不一定能满足两向量组可以相互线性表示。
举个简单例子：
向量组
a:
(1,0,0)，(0,1,0)
b:（0,0,1），(0,1,0)
两者秩都是2，但不能相互线性表示，因此不是等价的。、
而矩阵：
a:
1
0
0
0
1
0
b:
0
0
1
0
1
0
却是等价的
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