其实本题处理很简单。
单位元围成的区域的积分除了考虑极坐标，其实，该区域完全对称。故很多时候可以用对称性删去一些像。像是本题。
∫∫|x|dx在D上的结果等于2∫∫xdx在D上半部分上的结果，直角坐标也好，极坐标也好都不难积分。
而∫∫ydx在D上的结果等于0追问
单位元围成的区域的积分除了考虑极坐标，其实，该区域完全对称。故很多时候可以用对称性删去一些像。像是本题。
∫∫|x|dx在D上的结果等于2∫∫xdx在D上半部分上的结果，直角坐标也好，极坐标也好都不难积分。
而∫∫ydx在D上的结果等于0追问
过程啊 过程 就要过程好吧……
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2012-10-12
解： ∫∫<D>(|x|+y)dxdy
=∫<0,π/2>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ)rdr
+∫<π/2,3π/2>dθ∫<0,1>(-rcosθ+rsinθ)rdr
+∫<3π/2,2π>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ)rdr (作极坐标变换)
=∫<0,π/2>(cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
+∫<π/2,3π/2>(-cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
+∫<3π/2,2π>(cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
=2*(1/3)+2*(1/3)+0*(1/3) (约去积分运算)
=4/3。追问
=∫<0,π/2>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ)rdr
+∫<π/2,3π/2>dθ∫<0,1>(-rcosθ+rsinθ)rdr
+∫<3π/2,2π>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ)rdr (作极坐标变换)
=∫<0,π/2>(cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
+∫<π/2,3π/2>(-cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
+∫<3π/2,2π>(cosθ+sinθ)dθ∫<0,1>r²dr
=2*(1/3)+2*(1/3)+0*(1/3) (约去积分运算)
=4/3。追问
这个有考虑x^2+y^2小于等于1？要确定对啊大哥……
追答对呀！x^2+y^2≤1就是对应极坐标0≤r≤1。
本回答被提问者和网友采纳第2个回答 2012-10-12
负一。 过程要？
当然要 ，多谢
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