已知a为正整数y=x^2+(a+17)x+38-a和y=16/x有交点,且交点为整数求a的值

如题所述

解：联立方程组
可解得x^2+（a+17）x+38-a= ，即x^3+（a+17）x^2+（38-a）x-56=0，
分解因式得（x-1）[x^2+（a+18）x+56]=0
显然x=1是一个根
（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x^2+（a+18）x+56=0
其判别式△=（a+18）^2-224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程的根都是整数，
因此它的判别式△=（a+18）^2-224应该是一个完全平方数．
设（a+18）^2-224=k2（其中k为>=0的整数）
则（a+18）^2-k^2=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
a+18+k与a+18-k的奇偶性相同
且a+18+k≥18
而224=112×2=56×4=28×8，
联立方程
可以推得
答案为：a=39或a=12．

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