解引入函数f(x)=sinx+tanx-2x,则:
f′(x)
=cosx+1/(cosx)^2-2
=[(cosx)^3-2(cosx)^2+cosx+1-cosx]/(cosx)^2
=[cosx(cosx-1)^2+1-cosx]/(cosx)^2。
∵x是锐角,∴0<cosx<1,∴f′(x)>0,∴f(x)在(0,π/2)上是
增函数,
又f(0)=sin0+tan0-2×0=0,∴f(x)在(0,π/2)上恒为正数,
∴在(0,π/2)上,sinx+tanx-2x>0,∴在(0,π/2)上,sinx+tanx>2x。