第1个回答 2011-06-05
化为二重积分来讨论：
∫[0->1](x^(p-1)-x^(q-1))dx/lnx
=∫[0->1]dx∫[q->p] x^(y-1) dy
=∫[q->p]dy∫[0->1] x^(y-1) dx
=∫[q->p] (1/y) dy
=ln|p|-ln|q|
故当p≠0或q≠0,或者p,q同时为0时,积分收敛追问
∫[0->1](x^(p-1)-x^(q-1))dx/lnx
=∫[0->1]dx∫[q->p] x^(y-1) dy
=∫[q->p]dy∫[0->1] x^(y-1) dx
=∫[q->p] (1/y) dy
=ln|p|-ln|q|
故当p≠0或q≠0,或者p,q同时为0时,积分收敛追问
表示重积分还没教，可以用其他方法吗
追答用瑕积分的极限审敛法可以做
若lim[x->1] [(x-1)^s]f(x)=L , 如果存在常数s∈(0,1)以及01] [(x-1)^s]*(x^(p-1)-x^(q-1))/lnx 使用罗比达法则
=lim[x->1] (s-1)(x-1)^(s-1) * (x^p-x^q) + (x-1)^(s) * ((p-1)x^(p-1) - (q-1)x^(q-1))
可以看出(x-1)^(s-1)在s∈(0,1)中是无穷项，于是我们只需要讨论(x-1)^(s-1) * (x^p-x^q)
可以看出当p和q其中一个为0，另外一个不为0时(x^p-x^q)≠0，原式发散；
而当p,q均为0，或均不为0时，原式变为0*∞的未定式：lim[x->1](x^p-x^q)/(x-1)^(1-s)
=lim[x->1](px^(p-1)-qx^(q-1))/(1-s)(x-1)^(-s)
=lim[x->1] [(1-s)(x-1)^s](px^(p-1)-qx^(q-1))=L 得到的值L∈[0,∞),故这时收敛
综上：当p和q其中一个为0，另外一个不为0时，原式发散
其余情况下原式收敛
（上面的方法最后一步做错了，实际上ln|p|-ln|q|的收敛性也是这样的）
0应该也是瑕点吧，不用讨论它吗
追答x=0的时候lnx=-∞, 1/lnx=0,而分子也等于0，故被积函数为0不需要讨论
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