设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知ξ1,ξ2,ξ3是它的三个解向量,则该方程组的通解为( )A.k1(ξ1-ξ2)+ξ3B.k1(ξ2-ξ3)+ξ1+ξ3C.k1(ξ1-ξ3)+k2(ξ1+ξ2)+ξ1D.k1(ξ1+ξ3)+k2(ξ2-ξ3)+ξ1
因为ξ1,ξ2,ξ3为非齐次线性方程组的三个解向量,而且非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3。
根据定义,非齐次线性方程组的表达式为:Ax=b。
所以将ξ1,ξ2,ξ3代入Ax=b得到,Aξ1=b,Aξ2=b,Aξ3=b等式两边成立。因为非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,根据解的结构知,Ax=b的基础解析只有一个。
又因为非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解。
而齐次线性方程组的表达式为:Ax=0,同时Ax=0的基础解析也只有一个。
所以 令α1,α2,α3为Ax=0可能有的基础解析,即可令为Aα1=A(ξ1-ξ2)=b-b=0;
Aα2=A(ξ1-ξ3)=b-b=0;Aα3=A(ξ2-ξ3)=b-b=0.
所以 α1=ξ1-ξ2;α2=ξ1-ξ3;α3=ξ2-ξ3三个中的一个均可作为Ax=0的基础解析,所以齐次线性方程组的通解为k1(ξ1-ξ2)或者k1(ξ1-ξ3)或者k1(ξ2-ξ3)。
由Aξ1=b,Aξ2=b,Aξ3=b知,ξ1,ξ2,ξ3其中一个均可作为非齐次线性方程组的一个特解。
所以最后知道非齐次线性方程组的通解为k1(ξ1-ξ2)+ξ3。
扩展资料:
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤:
对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B),则方程组无解。
若R(A)=R(B),则进一步将B化为行最简形。
设R(A)=R(B)=r;把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数(自由未知数)表示,并令自由未知数分别等于c1,c2,……c n-r,即可写出含n-r个参数的通解。
参考资料来源:百度百科-非齐次线性方程组
参考资料来源:百度百科-齐次线性方程组