求线性微分方程 第八题 写一下过程谢谢

如题所述

y'+ycosx=(1/2)sin2x
一阶非齐次微分方程

P(x)=cosx
Q(x)=(1/2)sin2x
∫P(x)dx=sinx
y=e^(-sinx) [∫(1/2)sin2x e^(sinx) dx+C]
对于
∫(1/2)sin2x e^(sinx) dx
两倍角公式
=∫sinxcosx e^(sinx) dx
=∫sinx d[e^(sinx)] dx
分部积分法
=sinx e^(sinx) - ∫e^(sinx) d(sinx)
=sinx e^(sinx) - e^(sinx)
所以
y=e^(-sinx) [sinx e^(sinx) - e^(sinx)+C]
=sinx - 1+Ce^(-sinx)

谢谢