解:∵an=Sn-S(n-1)，∴Sn=n²(Sn-S(n-1))，
∴Sn/S(n-1)=n²/(n²-1)=(n/(n-1))(n/(n+1))，
∴(S2/S1)×(S3/S2)×(S4/S3)×···×(S(n-2)/S(n-3))×(S(n-1)/S(n-2))×(Sn/S(n-1))
=((2/1)×(2/3))×((3/2)×(3/4))×···×(((n-1)/(n-2))((n-1)/n))×((n/(n-1))(n/(n+1)))
则Sn/S1=2n/(n+1)，∵S1=a1=1/2，则Sn=n/(n+1)；
则an=Sn-S(n-1)=1/(n²+n)；
a1=S1=1/2成立，则an=1/(n²+n)。
∴Sn/S(n-1)=n²/(n²-1)=(n/(n-1))(n/(n+1))，
∴(S2/S1)×(S3/S2)×(S4/S3)×···×(S(n-2)/S(n-3))×(S(n-1)/S(n-2))×(Sn/S(n-1))
=((2/1)×(2/3))×((3/2)×(3/4))×···×(((n-1)/(n-2))((n-1)/n))×((n/(n-1))(n/(n+1)))
则Sn/S1=2n/(n+1)，∵S1=a1=1/2，则Sn=n/(n+1)；
则an=Sn-S(n-1)=1/(n²+n)；
a1=S1=1/2成立，则an=1/(n²+n)。
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第1个回答 2009-12-14
n≥2时：
a[n]=S[n]-S[n-1]=n^2a[n]-(n-1)^2a[n-1]
(n^2-1)a[n]=(n-1)^2a[n-1]
(n+1)a[n]=(n-1)a[n-1]
∴a[n]=(n-1)/(n+1)*a[n-1]
∴a[n]=(n-1)/(n+1)*a[n-1]
=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*a[n-2]
=…
=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*…*1/3*a[1]
=1/[n(n+1)]
考虑到a[1]=1/2
a[n]=1/[n(n+1)],n∈N.
a[n]=S[n]-S[n-1]=n^2a[n]-(n-1)^2a[n-1]
(n^2-1)a[n]=(n-1)^2a[n-1]
(n+1)a[n]=(n-1)a[n-1]
∴a[n]=(n-1)/(n+1)*a[n-1]
∴a[n]=(n-1)/(n+1)*a[n-1]
=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*a[n-2]
=…
=(n-1)/(n+1)*(n-2)/n*…*1/3*a[1]
=1/[n(n+1)]
考虑到a[1]=1/2
a[n]=1/[n(n+1)],n∈N.
第2个回答 2009-12-14
an=2/[n（1+n）]a1=1/[n（1+n）]
过程s1=a1; s2=a1+a2=4a2 a2=（1/3）a1; s3=a1+a2+a3=9a3 a3=（1/6）a1;
a4=（1/10）a1
得出an=1/[n（1+n）]
数学归纳法证明即可
过程s1=a1; s2=a1+a2=4a2 a2=（1/3）a1; s3=a1+a2+a3=9a3 a3=（1/6）a1;
a4=（1/10）a1
得出an=1/[n（1+n）]
数学归纳法证明即可
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