求极限lim[x→0+](x^x-(sinx)^x)/(x^2ln(1+x))

如题所述

结果为：1/6

解题过程如下：

解：应用等价无穷小替换

ln(1+x) ～ x

分母等价为：x³

对于分子：

(x^x)·[1-(sinx/x)^x]

(x^x)·{1-e^[xln(sinx/x)]}

∵lim(x→0+) xln(sinx/x)=0

∴1-e^[xln(sinx/x)] ～ -xln(sinx/x)

-xln(sinx/x)= -x ln[1+(sinx-x)/x]

ln[1+(sinx-x)/x] ～ (sinx-x)/x

∴1-e^[xln(sinx/x)] ～ x-sinx

根据基本公式：x-sinx ～ (1/6)x³

∴分子等价于：(x^x)(1/6)x³

而：lim(x→0+) x^x

=e^lim(x→0+) xlnx

=e^lim(x→0+) lnx/(1/x)

=e^lim(x→0+) (1/x)/(-1/x²)

=1

综合：原极限

=lim(x→0+) (x^x)·[1-(sinx/x)^x]/x³

=lim(x→0+) [1-(sinx/x)^x]/x³

=lim(x→0+) {1-e^[xln(sinx/x)]}/x³

=lim(x→0+) -xln(sinx/x)]/x³

=lim(x→0+) -xln[1+(sinx-x)/x]]/x³

=lim(x→0+) -x·[(sinx-x)/x] / x³

=lim(x→0+) (x-sinx)/x³

=1/6

扩展资料

求数列极限的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。