使用
极坐标来做比较简单,
令x=r*sina,y=r*cosa,
则x^2+y^2=r^2,
而积分区域d是由x^2+y^2=1,x=0,y=0所围成区域在
第一象限内部分,
所以r的范围是0到1,而角度a的范围是0到π/2
故原积分
=
∫∫
1/(1+x^2+y^2)
dxdy
=
∫∫
r
/(1+r^2)
dr
da
=
∫(上限1,下限0)
r
/(1+r^2)
dr
*
∫(上限π/2,下限0)
da
显然
∫(上限1,下限0)
r
/(1+r^2)
dr
=
0.5
*∫(上限1,下限0)
1
/(1+r^2)
d(r^2)
=
0.5ln|(1+r^2)|
代入上限1,下限0
=0.5ln2
而
∫(上限π/2,下限0)
da=
π/2
所以
原积分=
0.5ln2
*
π/2
=
(π/4)
*
ln2