矩阵可对角化的具体条件的理解 通俗易懂些

如题所述

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：

1.n阶方阵存在n个线性无关的特征向量

    推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵

2.如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重     复次数

现在从矩阵对角化的过程中，来说说这个条件是怎么来的。

在矩阵的特征问题中，特征向量有一个很好的性质，即Aa=λa。

假设一种特殊的情形，A有n个不同的特征值λi,即Aai=λi*ai。令矩阵P=[a1 a2 ... an]

这样以来AP=A*[a1 a2 ... an]=[A*a1 A*a2 ... A*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=P*B，其中B是对角阵。

B＝

λ1   0   0 ...

0    λ2  0 ...

...   ...  ... ...

0    0   0  λn

由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的，那么P是可逆矩阵，将上面等式换一种描述就是

A＝P*B*P-1 ，这也就是A相似与对角阵B定义了。

在这个过程中，A要能对角化有两点很重要：

P是怎么构成的？P由n个线性无关的向量组成，并且向量来自A的特征向量空间。

P要满足可逆。什么情况下P可逆？

矩阵可对角化的条件，其实就是在问什么情况下P可逆？

如果A由n个不同的特征值，1个特征值－对应1个特征向量，那么就很容易找到n个线性无关的特征向量，让他们组成P；

但是如果A有某个λ是个重根呢？比如λ＝3，是个3重根。我们 知道对应的特征方程(3I－A)x＝0不一定有3个线性无关的解。如果λ＝3找不到3个线性无关的解，那么A就不能对角化了，这是因为能让A对角化的P矩阵不存在。