求f(x,y)=x^3+y^3+3x^2+3y^2-9x的极值 详细过程

如题所述

对f（x,y）作x,y的一阶偏微分得到
df（x,y）/dx=3x^2+6x-9
df（x,y）/dy=-3y^2+6y
极值时上式分别等于0
化简可以得到
x=-3或者1
y=0或者2
两两组合一共有4个极值点
代入f（x,y）即可算出4个极值分别为
27,23,-5,-9追问

不对吧 答案是极大值31 极小值是-5

追答

求f(x,y)=x³-y³+3x²-9x的极值
令∂f/∂x=3x²+6x-9=3(x²+2x-3)=3(x+3)(x-1)=0,得x₁=-3,x₂=1；
再令∂f/∂y=-3y²=0,得y=0；
故得驻点M(-3,0)；N(1,0)；
A=∂²f/∂x²=6x+6；B=∂²f/∂x∂y=0；C=∂²f/∂y²=0；
对驻点M(-3,0)：A=-18+6=-12；B=0；C=0；B²-AC=0,故M是否是极值点,不能确定；
对驻点N(1,0)：A=6+6=12；B=0；C=0；B²-AC=0,故N是否是极值点,也不能确定.
令y=0,即用xoz平面去截此曲面,得平面曲线f(x)=x³+3x²-9x,令df/dx=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1)=0
故在此截面内有极大点x=-3,极小点x=1；再用x=-3的平面去截此曲面,得f(-3,y)=27-y³,这是
一个关于y的奇函数,y=0不是极值点；∴M不是极值点.再用x=1的平面去截此曲面,得f(1,y)
=-5-y³,这也是关于y的奇函数,y=0也不是极值点；结论：原函数f(x,y)没有极值.

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