设f(x)连续，（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx
其中的sinx可以换成cosx吗，自己写了了一下（积分区间为0到π）∫xf(cosx)dx=∫xf(cosx)dx-π∫f(cosx)dx,那说明∫xf(cosx)dx=0,这是为什么呢，但是平时的时候sinx和cosx可以互相转化... 其中的sinx可以换成cosx吗，自己写了了一下（积分区间为0到π）∫xf(cosx)dx=∫xf(cosx)dx-π∫f(cosx)dx,那说明∫xf(cosx)dx=0,这是为什么呢，但是平时的时候sinx和cosx可以互相转化，所以我感觉把sinx换成cosx也可以的吧，但好像证明有问题，求解释。 展开
第1个回答 2020-05-09
这个问题可以考虑三角函数对称性
其中sinx关于x＝0.5π是对称的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函数保持不变
而cosx没有这个性质，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，与f(cosx)的关系
要考虑函数f(x)的奇偶性，题目没有要求的话得不出简化的结论。
所以，
由于cosx关于x＝0对称，应该有cosx＝cos(-x)
原问题用cosx表示的形式应该是，设f(x)连续，（积分区间为-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原问题一模一样的推导过程推出这个结论，也可以用函数奇偶性得出
其中sinx关于x＝0.5π是对称的，
才有sin(π－x)＝sinx，
f(sin(π－x))＝f(sinx)，函数保持不变
而cosx没有这个性质，
cos(π－x)＝-cosx，
f(cos(π－x))＝f(-cosx)，与f(cosx)的关系
要考虑函数f(x)的奇偶性，题目没有要求的话得不出简化的结论。
所以，
由于cosx关于x＝0对称，应该有cosx＝cos(-x)
原问题用cosx表示的形式应该是，设f(x)连续，（积分区间为-0.5π到0.5π）∫xf(cosx)dx=0，可以用和原问题一模一样的推导过程推出这个结论，也可以用函数奇偶性得出
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