求解定积分 （2x-x^2）^(1/2)dx 积分上限是1 积分下限是0

如题所述

求解定积分
（2x-x^2）^(1/2)dx
积分上限是1
积分下限是0
∫<0,1>(2x-x^2)^(1/2)dx
=∫<0,1>√(-x^2+2x)dx
=∫<0,1>√[-(x^2-2x+1)+1]dx
=∫<0,1>√[1-(x-1)^2]dx
令(x-1)=sint，则x=sint+1
那么，dx=d(sint+1)=costdt
且，x=0时，sint=-1；x=1时，sint=0
则t∈[-π/2,0]
此时：√[1-(x-1)^2]=√(1-sin^2
t)=√(cos^2
t)=|cost|=cost
则原定积分=∫<-π/2,0>cost*costdt
=∫<-π/2,0>cos^2
tdt
=∫<-π/2,0>[(cos2t+1)/2]dt
=(1/2)∫<-π/2,0>(cos2t+1)dt
=(1/4)(sin2t)|<-π/2,0>+(1/2)(t)|<-π/2,0>
=(1/4)*(0-0)+(1/2)[0-(-π/2)]
=π/4

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