因为｛xn｝无界，所以取G=1，则存在n1大于0，使|xn1|大于1；取G=2，则存在n2大于n1，使|xn2|大于2，否则，任意n大于n1，都有|xn|小于等于2，这与｛xn｝无界矛盾。依此下去，取G=K，则存在nk大于nk-1大于……大于n2大于n1，使|xnk|大于K；这样便得到了一个子列｛xnk｝，满足条件：任意G大于0，存在K，当k大于K时，|xnk|大于G。
下证收敛子列
｛xn｝是非无穷大量，那我们先要知道无穷大量的定义：任意M大于0，存在N，当n大于N时，|xn|大于M；有了这个定义，那么我们就可以知道非无穷大量的定义：存在M0大于0，对于任意的N大于0，当n大于N时，|xn|小于等于M0。
取m1=N+1，则|xN+1|小于等于M0；
取m2=N+2，则|xN+2|小于等于M0；
依此下去，取mk=N+k，则|xN+k|小于等于M0。这样，便找到一个有界子列｛xmk｝，再由致密性定理知必存在收敛子列｛xnk（2）｝，综上，命题得证。
下证收敛子列
｛xn｝是非无穷大量，那我们先要知道无穷大量的定义：任意M大于0，存在N，当n大于N时，|xn|大于M；有了这个定义，那么我们就可以知道非无穷大量的定义：存在M0大于0，对于任意的N大于0，当n大于N时，|xn|小于等于M0。
取m1=N+1，则|xN+1|小于等于M0；
取m2=N+2，则|xN+2|小于等于M0；
依此下去，取mk=N+k，则|xN+k|小于等于M0。这样，便找到一个有界子列｛xmk｝，再由致密性定理知必存在收敛子列｛xnk（2）｝，综上，命题得证。
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