设点P(x，y)是椭圆3x^2＋y^2=3上的一个动点，求xy的最大值和求点P到直线x-y+16=

设点P(x，y)是椭圆3x^2＋y^2=3上的一个动点，求xy的最大值和求点P到直线x-y+16=0的最短距离

3x²+y²=3→x²/1²+y²/(√3)²=1
可设点P(cosθ，√3sinθ)

(1)
xy=cosθ·√3sinθ
=(√3/2)sin2θ
∴sin2θ=1，即θ=π/4时，
所求最大值为: √3/2.
此时点P为(√2/2，√6/2).

(2)
d=|cosθ-√3sinθ+16|/√2
=|2cos(θ+π/6)+16|/√2
=√2|cos(θ+π/3)+8|
∴cos(θ+π/3)=1，即θ=-π/3时，
所求最大值为: 9√2.
此时点P为(1/2，-3/2)。追问

第二题不是要最短距离吗？为什么是取最大值的？

追答

当cos(θ+π/3)＝-1,即θ＝2π/3时，
所求最小值为：√2|-1+8|＝7√2。

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