设t=x+1/2,则x^2+x+1=t^2+3/4
-x^2-2=-(t-1/2)^2-2=-t^2+t-9/4
原式=∫[-1/(t^2+3/4)+(t-3/2)/(t^2+3/4)^2]dt
=(-2/√3)arctan(2t/√3)-1/[2(t^2+3/4)]-(3/2){2t/[3(t^2+3/4)]+4/(3√3)*arctan(2t/√3)}+c
=(-4/√3)arctan(2t/√3)-(1+2t)/[2(t^2+3/4)]+c
=(-4/√3)arctan[(2x+1)/√3]-(x+1)/(x^2+x+1)+c
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。
扩展资料:
如果f(x)在区间I上有原函数,即有一个函数F(x)使对任意x∈I,都有F'(x)=f(x),那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C,函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
在一维实空间中,一个区间A= [a,b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值,b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下,积分的集合可以更加复杂,不再是区间,甚至不再是区间的交集或并集,其“长度”则由测度来给出。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。
参考资料来源:百度百科——不定积分