令x=tanu，则dx=(secu)^2du，√(1+x^2)=secu
∫ √(1+x^2)dx
=∫ secu(secu)^2du
=∫ (secu)^3du 这是书上一道例题，需要熟记的
∫ (secu)^3du
=∫ secud(tanu)
=tanusecu-∫ (tanu)^2secudu
=tanusecu-∫ ((secu)^2-1)secudu
=tanusecu-∫ (secu)^3du+∫secudu
=tanusecu-∫ (secu)^3du+ln|secu+tanu|
然后将-∫ (secu)^3du移到左边与左边合并后，得
∫ (secu)^3du=1/2tanusecu+1/2ln|secu+tanu|+C
因此原式=1/2x√(1+x^2)+1/2ln|x+√(1+x^2)|+C
∫ √(1+x^2)dx
=∫ secu(secu)^2du
=∫ (secu)^3du 这是书上一道例题，需要熟记的
∫ (secu)^3du
=∫ secud(tanu)
=tanusecu-∫ (tanu)^2secudu
=tanusecu-∫ ((secu)^2-1)secudu
=tanusecu-∫ (secu)^3du+∫secudu
=tanusecu-∫ (secu)^3du+ln|secu+tanu|
然后将-∫ (secu)^3du移到左边与左边合并后，得
∫ (secu)^3du=1/2tanusecu+1/2ln|secu+tanu|+C
因此原式=1/2x√(1+x^2)+1/2ln|x+√(1+x^2)|+C
温馨提示：内容为网友见解，仅供参考
第1个回答 2012-01-07
利用分部积分法
第2个回答 推荐于2017-05-20
作代换x=sh t
积分就变成对ch²t的积分
积分得到[2t+sh(2t)]/4+C
由x=sh t解出t=ln[1+sqrt(1+x²)] sqrt表示开根
故积分为{2ln[1+sqrt(1+x²)]+2x²+1}/4+C
用x=tg t的积分过程会很复杂追问
积分就变成对ch²t的积分
积分得到[2t+sh(2t)]/4+C
由x=sh t解出t=ln[1+sqrt(1+x²)] sqrt表示开根
故积分为{2ln[1+sqrt(1+x²)]+2x²+1}/4+C
用x=tg t的积分过程会很复杂追问
是不是x=sin t？
追答不是。sh t=[e^t-e^(-t)]/2
ch t=[e^t+e^(-t)]/2
很容易验证ch²t=1+sh²t
以及它们互为对方的导数
那tgt是什么
追答tan t。一个意思。
本回答被提问者采纳第3个回答 2012-01-07
x=tgt作第二类换元追问
详细点啊
追答积分sectdtgt=积分sec^3 t dt=
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