初二数学代数难题,跪求解答(要过程)

(注:以下x均为英文字母,不为乘号,乘号省略)
1.方程x²-mx+n中,m,n均为有理数,且方程有一个根是2+根3,则M=?,N=?
2.已知方程2x²-(3m+n)x+mn=0有两个不相等的实数根,则m,n的取值范围是?
3.如果m为有理数,为使方程x²-4x(m-1)+3m²-2m+2k=0的根为有理数,则K的值为?
4.当m>0时,关于x的方程c(x²+m)+b(x²-m)2ax倍的根号m=0有两个相等的实数根,求证:a²+b²=c²
5.求证:方程(x-a)(x-a-b)=1有两个实数根,其中一个大于a,另一个小于a?
6.已知a,b,c是三角形的三边,求证方程a²x²+(a²+c²-b²)x+c²=0无实数根
7.若方程b(x²-4)+4x(b-a)-c(x²-4)=0的两个根不相等,且a,b,c为△ABC的三边,求证;△ABC不是等边三角形.
8.m是什么实数值时,方程2x²+x(n+1)-(3n²-4n+m)=0有有理根?
9.已知:关于x的方程x²+(a-8)x+12-ab=0,这里a,b是实数,如果对于任意a值,方程永远有实数根,求b的取值范围?
10.设a为有理数,当b为何值时,方程2x²+(a+1)x-(3a²-4a+b)=0的根对于a的任何值均是有理数?
11.已知r①,r②,d均大于零且方程x²-2r①x+(r②)²+r①d-r②d=0有相等的实数根,求证:r①=r②(注:①,②为下标)

解:1、由韦达定理,x1+x2=m,x1*x2=n;
一元二次方程的无理数根,总是共轭出现的,故另一根是2-√3;
则 m=4,n=1。
2、有两个不相等的实数根,则Δ>0;
(3m+n)²-8mn>0
9m²-2mn+n²>0
(m-n)²+8m²>0
只要m=n和m=0不同时成立,则该不等式成立;
所以m、n是实数,m、n不同时为零;
3、因为m是有理数,若使方程的根是有理数,则需Δ是完全平方数(式);
Δ=16(m-1)²-4(3m²-2m+2k)
=4(m²-6m+4-2k)
若要4(m²-6m+4-2k)是完全平方式,则关于m的一元二次方程
m²-6m+4-2k=0的判别式为0;
故 6²-4(4-2k)=0
解得 k= -5/2
4、将方程整理为一般形式
(b+c)x²+2a√mx+cm-bm=0
这个关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
则 Δ=0
4a²m-4(b+c)(cm-bm)=0
整理得 (a²+b²-c²)m=0
因为 m>0
故 a²+b²-c²=0
a²+b²=c²
5、将方程整理为一般形式
x²-(2a+b)x+a²+ab-1=0
Δ=b²+4>0,故该方程有两个不相等的实数根;
由 (x1-a)(x2-a)=x1x2-a(x1+x2)+a²
=a²+ab-1-a(2a+b)+a²
= -1<0
故x1、x2中,一个比a大,一个比a小。
6、方程a²x²+(a²+c²-b²)x+c²=0的判别式是
Δ=(a²+c²-b²)²-4a²c²
=(a²+c²-b²+2ac)(a²+c²-b²-2ac)
=[(a+c)²-b²][(a-c)²-b²]
=(a+b+c)(a+c-b)(a-c+b)(a-c-b)
因为a、b、c是三角形的三边
则有 a+b+c>0,a+c-b>0,a-c+b>0,a-c-b<0;
故 Δ<0;
原方程无实数根。
7、b(x²-4)+4x(b-a)-c(x²-4)=0整理为一般形式
(b-c)x²+4(b-a)x+4c-4b=0
判别式 Δ=16(b-a)²-16(b-c)²>0
(2b-a-c)(c-a)>0
若以a、b、c为三边的三角形是等边三角形,则2b=a+c,c=a;Δ=0,与题意不符;
故该三角形不是等边三角形。
8、方程2x²+x(n+1)-(3n²-4n+m)=0有有理根
则 Δ是完全平方式;
Δ=(n+1)²+8(3n²-4n+m)
=25n²-30n+8m+1
配方 Δ=(5n-3)²+8m-8
使 Δ为完全平方式,则m=1。
9、x²+(a-8)x+12-ab=0
Δ=(a-8)²-4(12-ab)
=a²-16a+4ab+16
要使关于x的一元二次方程有实数根,则 Δ≥0;
即 a²-16a+4ab+16≥0;
要使上式对任何a都成立,则关于a的一元二次方程
a²-16a+4ab+16=0的判别式小于等于零;
故 (4b-16)²-64≤0;
解得 2≤b≤6。
10、方程2x²+(a+1)x-(3a²-4a+b)=0
Δ=(a+1)²+8(3a²-4a+b)
=25a²-30a+8b+1
若对任意a,关于x的方程都是有理数,则需Δ是完全平方式;
Δ=(5a-3)²+8b-8
要使上式是完全平方式,
则 8b-8=0,b=1。
11、方程x²-2r①x+(r②)²+r①d-r②d=0有相等的实数根
则 Δ=0;
4r①²-4(r②²+r①d-r②d)=0
(r①-r②)(r①+r②-d)=0
所以 (r①-r②)=0或者 r①+r②-d=0
温馨提示:内容为网友见解,仅供参考
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