n阶矩阵一个非重根的特征值一定只对应一个特征向量吗?

如题所述

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当然，单特征值有且仅有一个线性无关的特征向量。
比如说Ax=cx，c是A的单特征值，x是A关于c的特征向量，
如果A关于c还有一个与x线性无关的特征向量y，
取一个以[x,y]为前两列的可逆矩阵P，那么
P^{-1}AP=
A11 A12
0 A22
A11的两个特征值都是c，就和单特征值矛盾了。
更一般地，特征值的代数重数不小于几何重数。

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其他看法

第1个回答 2012-03-08

几何重数不超过代数重数。
根据Jordan标准型来看是显然的：
几何重数=属于同一特征值的所有Jordan块的个数，也就是对应特征值的特征子空间的维数
代数重数=属于同一特征值的所有Jordan块的阶数和，也就是对应特征值作为特征多项式的根的重数

第2个回答 2012-03-04

以示例来说，应该更容易理解吧
已知一个a矩阵如下
a =
[ 49.1149203149206 97.9007076462268 64.8480193060115 59.1380427866886
9.92842577860152 45.0340597634362 71.1042780294569 95.5807427855119
5.97813730406488 13.2087267531123 51.5637772397901 69.9634000519120
29.4063646017603 81.5903472162738 45.2419125685663 7.64844753204307 ]
现在求其特征值如下
eig(a)
ans =
[ -55.389186280347 0.00000000000000
183.978892172887 0.00000000000000
12.3857494788251 -5.5701135151234
12.3857494788251 5.57011351512347 ]
然后我们求特征值-55.389186280347+0i的特征向量如下
eigtor(a,-55.389186280347)
ans =
[ 0.33052953655254
-0.5569048790626
-0.6038481263522
1.00000000000000 ]
即上面的ans向量就是求得的一个特征向量。现在任意一个非0的值乘这个向量产生的向量都是同一个特征值的特征向量，比如我们让上面的ans向量乘以8，如下
b=ans*8
b =
[ -2.6442362924203
4.45523903250106
4.83078501081826
-8.0000000000000 ]
即上面的b向量也是a矩阵特征值-55.389186280347+0i的特征向量.但是注意b向量和ans向量是线性相关的

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