只需用闭区间套定理证明结论：Cauchy列是收敛的。
首先，Cauchy列必有界，设a<=an<=b。
将[a，b]均分为3份，分点为c=(2a+b)/3，d=(a+2b)/3。下面证明[a，c]和[d，b]中有一个区间最多含有数列中的有限多项。
若两个区间中都含有数列中的无穷多项，则对e=(b--a)/3>0，存在N，当m>n>N时，有|am--an|<e，在[a
c]中必有一项ak，k>N。
在[d，b]中必有一项al，l>N，则|ak--al|>=(b--a)/3。矛盾，因此两个区间中有一个最多含有有限多项。
将含有有限多项的一个去掉（若两个都是有限多项，则去掉左边的那个区间），剩下的区间记为[c1，db1]。然后再将[c1，d1]均分为三份，类似去掉一个，依次进行下去得到一个闭区间列，
1、[cn，dn]包含[c(n+1), c(n+1)]，且区间长度为(b--a)/3^n。
2、[cn, dn]的外面含有数列{an}中的有限多项。
由定理，存在cn和dn的共同的极限值x，位于所有的闭区间中。下面证明x是{an}的极限。
对任意的e>0，存在K，使得ck<=x<=dk，当k>=K时，
注意到第二个性质，[cK，dK]外有{an}的有限多项，记最大指标为N，即n>N时，有an位于[cK,
dK]中，于是|an--x|<=dK--cK<e。由定义，{an}收敛于x。证毕。
扩展资料
函数的柯西收敛准则性质
1、充分性：由于函数极限和数列极限可以通过归结原则联系起来，所以要证明函数收敛，可以转化为证明数列收敛。而数列收敛的柯西准则已经证明了，所以把已知条件转化为求数列极限是证明的重心。
2、归结原则（或称海涅定理）：设f(x)在x0的某个去心邻域（或|x|大于某个正数时）有定义，那么充要条件是，对在x0的某个去心邻域内的任意收敛于x0并且满足xn≠x0的数列{xn}（或绝对值大于某个正数的任意发散到无穷大的数列{xn}），都有数列{f(xn)}收敛到A。
参考资料来源：百度百科—柯西极限存在准则
参考资料来源：百度百科—区间套定理
首先，Cauchy列必有界，设a<=an<=b。
将[a b]均分为3份，分点为c=(2a+b)/3，d=(a+2b)/3。下面证明[a c]和[d b]中有一个区间最多含有数列中的有限多项。若两个区间中都含有数列中的无穷多项，则对e=(b--a)/3>0，存在N，当m>n>N时，有|am--an|<e，在[a c]中必有一项ak，k>N，在[d b]中必有一项al，l>N，则|ak--al|>=(b--a)/3。矛盾，因此两个区间中有一个最多含有有限多项。
将含有有限多项的一个去掉（若两个都是有限多项，则去掉左边的那个区间），剩下的区间记为[c1 db1]。然后再将[c1 d1]均分为三份，类似去掉一个，依次进行下去得到一个闭区间列，
(1)[cn dn]包含[c(n+1), c(n+1)]，且区间长度为(b--a)/3^n；
(2)[cn, dn]的外面含有数列{an}中的有限多项。
由定理，存在cn和dn的共同的极限值x，位于所有的闭区间中。下面证明x是{an}的极限。
对任意的e>0，存在K，使得ck<=x<=dk，当k>=K时，注意到第二个性质，[cK, dK]外有{an}的有限多项，记最大指标为N，即n>N时，有an位于[cK, dK]中，于是|an--x|<=dK--cK<e。由定义，{an}收敛于x。证毕。
